2010年广东增城中学“鹤岭杯”高二数学竞赛试卷.doc

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1、班级姓名考号学校2010年广东增城中学鹤岭杯高二数学竞赛试卷题号一二三合计（11）（12）（13）（14）（15）得分评卷员考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．1．已知集合，，则集合与集合的关系为（）．A．B．C．D2.已知函数则等于()．A．B．C．D．3．若四面体的一条棱长为，其余的棱长都是，它的体积为，则在其定义域上（）．

2、A．是增函数，但无最大值B．是增函数，且有最大值C．不是增函数，但有最大值D．不是增函数，且无最大值4.已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则()．A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．5.设△的三边长分别是、、，外心、垂心分别为O、H，那么.6．设实数、满足，则的取值范围是__________.7.数列满足,,求数列的通项公式.8．多项式展开式中的奇次项系数之和为.9．古希腊数学家把数1，，，，，，…，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为_

3、_________.10.设，，且，则的取值范围为.三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．11．（本小题满分15分）已知函数．（1）若函数的图象关于点对称，且，求的值；（2）设，若是的充分条件，求实数的取值范围.12．（本小题满分15分）如图，已知正方形，、分别是、的中点，将ADE沿折起，如图所示，记二面角的大小为．（1）证明：平面；（2）若△为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论,并求角的余弦值．AACBDEFBCDEF13．（本小题满分20分）已知椭圆，直线过点和点交椭圆于，直线交椭圆于．（

4、1）用表示△的面积；（2）若，为定值，求的最大值．14．（本小题满分20分）如图，在xOy平面上有一系列点，对每个自然数n，点位于函数的图象上．以点为圆心的⊙与x轴都相切，且⊙与⊙又彼此外切，若，且．　　（1）求证：数列是等差数列；　　（2）设⊙的面积为，求证：．　　15．（本小题满分20分）已知函数．（1）求函数的单调区间和极值；（2）若对满足的任意实数恒成立，求实数的取值范围（这里是自然对数的底数）；（3）求证：对任意正数、、、，恒有.2010年广东增城中学鹤岭杯高二数学竞赛答卷学号姓名分数一．选择题（本大题共4小题，每小题6分，

5、共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在对应的位置.）题号1234答案二．填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．）5．6．7．8．9．10．三．解答题：(本大题共5小题，共90分．请在相应位置作答，要求写出解答过程．)11．（本小题满分15分）12、（本小题满分15分）AACBDEFBCDEF13、（本小题满分20分）14、（本小题满分20分）15．(本小题满分20分)2010年广东增城中学鹤岭杯高二数学竞赛参考答案一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，

6、共24分．1．A2．C3．D4．BADCBOH3、D将两个边长都为1的正三角形一条边重合，一个三角形不动，另一个三角形由重合的位置逐渐张开，当张开到两三角形垂直位置时体积最大，再继续张开则体积逐渐减少。故选C。当两三角形趋向重合时，，故值域为二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．5．答：。如图，作直径BD，因AD⊥AB，∴AD∥CH。同理AH∥CD于是四边形AHCD是平行四边形。所以∴。也可根据特殊值法，令△ABC为等边三角形得答案。6．7．8．解设令，；①令，②①-②得，，所以奇次项系数之和为41.9．解引入自变量和因变

7、量，列表得12345…361015…在猜想一次关系未获通过的情况下，调整为二次函数关系，把分别代入解之，得关系式为，或化为。以验证均获通过。因此可求得第24个与第22个三角形数分别为300，253，故这两个三角形数的差为47．10．三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．11．（本小题满分15分）解：解：（Ⅰ）∵∴，∴的图象的对称中心为.又已知点为的图象的一个对称中心，∴.而，∴或.（Ⅱ）若成立，即时，，，由，∵是的充分条件，∴，解得，即的取值范围是．12．（本小题满分15分）(１)EF分别为正方形ABCD得边AB、C

8、D的中点,EB//FD,且EB=FD,四边形EBFD为平行四边形.BF//ED平面.（2）法一:如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD.ACD为正三角形