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1、初中数学竞赛专题选讲(初三.20)最大最小值一、内容提要1. 求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，的最大、最小值常用两种方法：①配方法：原函数可化为y=a(x+)2+.∵在实数范围内(x+)2≥0，∴若a>0时，当x=－时，y最小值=；若a<0时，当x=－时，y最大值=.②判别式法：原函数可化为关于x的二次方程ax2+bx+c－y=0. ∵x在全体实数取值时，∴ △≥0即b2－4a(c－y)≥0， 4ay≥4ac－b2.若a>0，y≥，这时取等号，则y为最小值；若a<0，y≤，这时取等号，则y为最大值.有时自变量x定在某个区
2、间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便.2. 用上述两种方法，可推出如下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大. 最大值是定值平方的四分之一.例如：两正数x和y， 如果x+y=10,那么xy的积有最大值，最大值是25.定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小. 最小值是定值的算术平方根的2倍.例如：两正数x和y，如果xy=16,那么x+y有最小值，最小值是8.证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法. 设a>0, b>0, a+b=k. (k为定值).那么ab=a(k－a)=
3、－a2+ka=－(a－k)2+.当a=时，ab有最大值.证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法.设a>0, b>0, ab=k(k为定值)，再设y=a+b.那么y=a+, a2－ya+k=0.（这是关于a的二次议程方程）∵a为正实数，∴△≥0.即(－y)2－4k≥0， y2－4k≥0.∴y≤－2(不合题意舍去)；y≥2.∴y最小值=2.解方程组 得a=b=.∴当a=b=时，a+b有最小值2.3. 在几何中，求最大、最小值还有下列定理： 定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值. 当这两边相等时，其和的值最大
4、.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值. 当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例1. 已知：3x2+2y2=6x,x和y都是实数，求：x2+y2的最大、最小值.解：由已知y2=,∵y是实数， ∴y2≥0.即≥0， 6x－3x2≥0，x2－2x≤0.解得 0≤x≤2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x2+y2=x2+=－(x－3)2+在区间0≤x≤2中，当x=2时，x2+y2有最大值4.∴当x=0时，x2+y
5、2=0是最小值.例2. 已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.求：这个矩形周长、面积的最小值.解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为a, b其周长、面积的数值为k.那么2(a+b)=ab=k.即 ∴a和b是方程 x2－kx+k=0 的两个实数根.∵a, b都是正实数，∴△≥0. 即(－)2－4k≥0.解得k≥16；或k≤0. k≤0不合题意舍去.∴当k≥16取等号时，a+b, ab的值最小，最小值是16.即这个矩形周长、面积的最小值是16.例3. 如图△ABC的边BC=a,高AD=h,要剪下一个矩形EFGH，问EH取多少长
6、时，矩形的面积最大？最大面积是多少？解：用构造函数法设EH=x,S矩形=y,则GH=.∵△AHG∽△ABC，∴. ∴y=.∴当x=时，y最大值=.即当EH=时，矩形面积的最大值是.例4. 如图已知：直线m∥n，A，B，C都是定点，AB=a,AC=b,点P在AC上，BP的延长线交直线m于D.问：点P在什么位置时，S△PAB+S△PCD最小？解：设∠BAC=α，PA=x,则PC=b－x.∵m∥n，∴.∴CD=S△PAB+S△PCD=axSinα+(b－x)Sinα=aSinα(=aSinα(2x+.∵2x×=2b2(定值)， 根据定理二
7、，2x+有最小值.∴当2x=，x=时，S△PAB+S△PCD的最小值是 (－1)abSinα.例5.已知：Rt△ABC中,内切圆O的半径r=1.求：S△ABC的最小值.解：∵S△ABC=ab ∴ab＝2S△. ∵2r=a+b－c, ∴c=a+b－2r.∴a+b－2r=.两边平方，得 a2+b2+4r2+2ab－4(a+b)r=a2+b2. 4r2+2ab－4(a+b)r=0.用r=1, ab=2S△代入， 得4+4S△－4(a+b)=0. a+b=S△+1.∵ab=2S△ 且a+b=S△+1. ∴a, b是方程x2－(S△
8、+1)x+2S△=0的两个根.∵a,b是正实数， ∴△≥0， 即[－(S△+1)]2－4×2S△≥0， S△2－6S△+1≥0.解得 S△≥3+2或S△≤3－2. S△≤3－2不合题意舍去.∴S△ABC的最小值是3+2.
