分式方程经典试题集锦(20140121).doc

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1、分式方程经典试题集锦　　一、分式方程：　　1、识别一个方程是分式方程的关键是方程分母中有未知数。　　2、解分式方程的基本思想是：“把分式方程的分母去掉，使分式方程化为整式方程，就可以利用整式方程的解法求解”。这就是“转化思想”。　　3、将分式方程转化为整式方程，转化的条件是“去分母”。其方法是在分式的两边同乘以分式方程中各分式的最简公分母。4、在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的“增根”。应当舍去。因此，解得整式方程的根后，要代入原分式方程检验，适合原方程即为分式方程的根，不适合，就说明原方程无解。也可以代入去分母时乘

2、以的最简公分母中，使公分母≠0时为原方程的解，使公分母=0时为增根舍去。二、知识结构知识要点方法题型公因式找公因式的方法：（1）分子分母是单项式时，先找分子分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式（2）分子分母是多项式时，先把多项式因式分解，再按（1）中的方法找公因式确定公因式并约分：最简公分母找最简公分母到方法（分母均为单项式）1、各分母系数的最小公倍数。2、各分母所含所有因式或字母的最高次幂。3、所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）找最简公分母到方法（分母均为多项式）1、先把分母因式分解。2

3、、各分母系数的最小公倍数。3、各分母所含所有因式的最高次幂。（2）4、所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）（1），确定最简公分母并通分：　　例5，解方程：。　　分析：本题方程中分母含有未知数x，是分式方程，解分式方程的关键是去分母，将分式方程化为整式方程，首先要将各个分母能因式分解的多项式先做因式分解，再找最简公分母。　　解：将原方程变形：　　去分母：方程两边同乘以2(x+3)得：4+3(x+3)=7,　　去括号：4+3x+9=7　　移项：3x=7-4-9　　合并同类项：3x=-6　　系数化为1：x=-2　　检验：把x

4、=-2代入原方程　　左边==2+=，　　右边==，　　∵左边=右边，∴x=-2是原方程的解。　　注：把求得的未知数的值代入原方程检验，不仅可以检验出是不是增根，还可以检查在解方程过程中计算是否有错误。　　例6，解方程：=1-。　　分析：本题方程中分母含有未知数，是分式方程，解分式方程的关键是去分母，此题中分母应先按x的降幂排列，再因式分解，这样便于找最简公分母。　　解：原方程变形：=1-　　去分母：方程两边同乘以(x-7)(x-1)，　　得：(x-3)(x-7)-(x-5)(x-1)=(x-7)(x-1)-(x2-2)　　去括号：x2-10x+

5、21-x2+6x-5=x2-8x+7-x2+2　　合并同类项：-4x+16=-8x+9　　移项：-4x+8x=9-16　　合并同类项：4x=-7　　系数化为1：∴x=-　　检验：将x=-代入(x-7)(x-1)　　∵(x-7)(x-1)=(--7)(--1)≠0,　　∴x=-是原方程的解。　　注：（1）在进行方程变形中：=，=-。（2）去括号时-(x-5)(x-1)=-(x2-6x+5)=-x2+6x-5，-(x2-2)=-x2+2以上几处的变形中不要出现错误，注意分式符号法则的应用及去括号的应用。（3）去分母时原方程中，右边的第一项是整式，千

6、万不要忘记同乘以最简公分母(x-7)(x-1)。　　例7，解方程：。　　解：原方程化为：，　　去分母：方程两边同乘以x(x+1)(x-1)，　　得：7(x-1)+3(x+1)=6x　　去括号：7x-7+3x+3=6x　　移项：7x+3x-6x=7-3　　合并同类项：4x=4　　系数化为1：∴x=1　　检验：把x=1代入x(x+1)(x-1)　　∵x(x+1)(x-1)=1×(1+1)(1-1)=0,　　∴x=1是原方程的增根，舍去。　　∴原方程无解。　　例8，解方程：--+=0。　　分析：本题直接去分母，则方程两边就要乘以最简公分母(x-2)(

7、x-3)(x-4)(x-5)，这样计算比较复杂，因此，我们可采用分组通分的方法，化简，然后再去分母化成整式方程来解。　　解法（一）：原方程化为：-=-　　将方程两边分别通分：　　=，　　化简：=，　　∴=，　　∴=，　　去分母，方程两边同乘以(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)：　　(x-3)(x-5)=(x-2)(x-4)　　去括号：x2-8x+15=x2-6x+8　　移项：x2-8x-x2+6x=8-15　　合并同类项：-2x=-7　　系数化为1：∴x=　　检验，将x=代入最简公分母(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)　　∵(x-2

8、)(x-3)(x-4)(x-5)=(-2)(-3)(-4)(-5)≠0　　∴x=是原方程的解。　　解法（二）：分析：如果一个分式的分子与分母同次或分子