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1、;点到直线的距离公式的七种推导方法已知点P(x0,y0)直线l:AxByC0(A0,B0)求点P到直线l的距离。(因为特殊直线很容易求距离,这里只讨论一般直线)一、定义法证:根据定义,点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长,如图1,'''设点P到直线l的垂线为l,垂足为Q,由ll可知l的斜率yPlBQl'为AxB图1'yy0(xx0)l的方程:A与l联立方程组22Bx0ABy0ACAy0ABx0BCQ(,)2222解得交点ABAB222Bx0ABy0AC2Ay0ABx0BC2
2、PQ
3、(x)(y)220220
4、ABAB22Ax0ABy0AC2By0ABx0BC2()()2222ABAB22222A(Ax0By0C)B(Ax0By0C)(Ax0By0C)22222222(AB)(AB)AB
5、Ax0By0C
6、PQ
7、22AB二、函数法证:点P到直线l上任意一点的距离的最小值就是点P到直线l的距离。在l上取任意点Q(x,y)用两点的距离公式有,为了利用条件AxByC0上式变形一下,配凑系数处理得:’.;2222(AB)[(xx0)(yy0)]22222222A(xx)B(yy)A(yy)B(xx)000022[A(xx)B(y
8、y)][A(yy)B(xx)]000022[A(xx0)B(yy0)](Ax0By0C)(AxByC0)22
9、Ax0By0C
10、(xx)(yy)0022AB当且仅当A(yy0)B(xx0)时取等号所以最小值就是
11、Ax0By0C
12、d22AB三、不等式法证:点P到直线l上任意一点Q(x,y)的距离的最小值就是点P到直线l的距离。由柯西不等式:222222(AB)[(xx0)(yy0)][A(xx0)B(yy0)](Ax0By0C)22
13、Ax0By0C
14、AxByC0,(xx0)(yy0)22AB当且仅当A(yy0)B(x
15、x0)时取等号所以最小值就是
16、Ax0By0C
17、d22AB四、转化法yPllyPQQMM证:设直线l的倾斜角为过点P作PMxx∥y轴交l于M(x1,y1)显然x1x0所以图2图3Ax0CAx0CAx0By0Cy1
18、PM
19、
20、y0
21、
22、
23、bBB0易得∠MPQ=(图2)或∠MPQ=180(图3)222AtanMPQtan2在两种情况下都有B所以1
24、B
25、cosMPQ2221tanAB’.;Ax0By0C
26、B
27、
28、Ax0By0C
29、
30、PQ
31、
32、PM
33、cosMPQ
34、
35、2222BABAB五、三角形法yPNQ证:P作PM∥y轴交l于M,过
36、点P作PN∥x轴交l于NMxl(图4)图4Ax0By0CAx0By0C
37、PM
38、
39、
40、
41、PN
42、
43、
44、由解法三知B;同理得A在Rt△MPN中,PQ是斜边上的高
45、PM
46、
47、PN
48、
49、Ax0By0C
50、
51、PQ
52、2222
53、PM
54、
55、PN
56、AB六、参数方程法xxtcos'0l:证:过点P(x0,y0)作直线yy0tsin交直线l于点Q。(如图1)由直线参数方程的几何意义知
57、t
58、
59、PQ
60、,将l'代入l得Ax0AtcosBy0BtsinC0Ax0By0C
61、t
62、
63、
64、...........(1)整理后得AcosBsin'当ll时,我们讨论与l的
65、倾斜角的关系:Atan0,不妨令A>0,B<00当为锐角时(B)有90(图2)tanBAcossin222221tanABAB1
66、B
67、Bsincos222221tanABABAtan0,不妨令A>0,B>00当为钝角时(B)有90(图3)’.;得到的结果和上述形式相同,将此结果代入①得
68、Ax0By0C
69、
70、Ax0By0C
71、yPQ
72、t
73、22ABA2B2
74、
75、n2222ABABxl七、向量法图五证:如图五,设直线l:AxByC0(A0,B0)的一个Bn(1,)法向量A,Q直线上任意一点,则PQ(x1x0,y1y0)。从而
76、点P到直线的距离为:B
77、xx(yy)
78、
79、nPQ
80、1010
81、A(xx)B(yy)
82、A1010d222
83、n
84、BAB12A
85、Ax1By1Ax0By0
86、
87、Ax0By0C
88、P点在直线l上,Ax1By1C0,从而d2222ABAB附:方案一:设点P到直线l的垂线段为PQ,垂足yRP(x0,y0)为Q,由PQ⊥l可知,直线PQ的斜dQBoxS率为A(A≠0),根据点斜式写出直l线PQ的方程,并由l与PQ的方程求出点Q的坐标;由此根据两点距离公式求出|PQ|,得到点P到直线l的距离为d王新敞方案二:设A≠0,B≠0,这时l与x轴
89、、y轴都相交,过点P作x轴的平行线,交l于点R(x1,y0);作y轴的平行线,交l于点S(x0,y2),’.;A1x1By0C0By0CAx0Cx1,y2由Ax0By2C0得AB.Ax0By0C所以,|PR|=|x0x1|=AAx0By0C|PS|=|y0y2|=B2222ABPRPS|RS|=AB×|Ax0By0C|由三角形面积公式可知:d·|RS|=|PR|·|PS|