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1、；点到直线的距离公式的七种推导方法已知点P(x0,y0)直线l:AxByC0(A0,B0)求点P到直线l的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）一、定义法证：根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图1，'''设点P到直线l的垂线为l，垂足为Q，由ll可知l的斜率yPlBQl'为AxB图1'yy0(xx0)l的方程：A与l联立方程组22Bx0ABy0ACAy0ABx0BCQ(,)2222解得交点ABAB222Bx0ABy0AC2Ay0ABx0BC2
2、PQ
3、(x)(y)220220
4、ABAB22Ax0ABy0AC2By0ABx0BC2()()2222ABAB22222A(Ax0By0C)B(Ax0By0C)(Ax0By0C)22222222(AB)(AB)AB
5、Ax0By0C
6、PQ
7、22AB二、函数法证：点P到直线l上任意一点的距离的最小值就是点P到直线l的距离。在l上取任意点Q(x,y)用两点的距离公式有，为了利用条件AxByC0上式变形一下，配凑系数处理得：’.；2222(AB)[(xx0)(yy0)]22222222A(xx)B(yy)A(yy)B(xx)000022[A(xx)B(y
8、y)][A(yy)B(xx)]000022[A(xx0)B(yy0)](Ax0By0C)(AxByC0)22
9、Ax0By0C
10、(xx)(yy)0022AB当且仅当A(yy0)B（xx0）时取等号所以最小值就是
11、Ax0By0C
12、d22AB三、不等式法证：点P到直线l上任意一点Q(x,y)的距离的最小值就是点P到直线l的距离。由柯西不等式：222222(AB)[(xx0)(yy0)][A(xx0)B(yy0)](Ax0By0C)22
13、Ax0By0C
14、AxByC0,(xx0)(yy0)22AB当且仅当A(yy0)B（x
15、x0）时取等号所以最小值就是
16、Ax0By0C
17、d22AB四、转化法yPllyPQQMM证：设直线l的倾斜角为过点P作PMxx∥y轴交l于M(x1,y1)显然x1x0所以图2图3Ax0CAx0CAx0By0Cy1
18、PM
19、
20、y0
21、
22、
23、bBB0易得∠MPQ＝（图2）或∠MPQ＝180（图3）222AtanMPQtan2在两种情况下都有B所以1
24、B
25、cosMPQ2221tanAB’.；Ax0By0C
26、B
27、
28、Ax0By0C
29、
30、PQ
31、
32、PM
33、cosMPQ
34、
35、2222BABAB五、三角形法yPNQ证：P作PM∥y轴交l于M，过
36、点P作PN∥x轴交l于NMxl（图4）图4Ax0By0CAx0By0C
37、PM
38、
39、
40、
41、PN
42、
43、
44、由解法三知B；同理得A在Rt△MPN中，PQ是斜边上的高
45、PM
46、
47、PN
48、
49、Ax0By0C
50、
51、PQ
52、2222
53、PM
54、
55、PN
56、AB六、参数方程法xxtcos'0l:证：过点P(x0,y0)作直线yy0tsin交直线l于点Q。(如图1)由直线参数方程的几何意义知
57、t
58、
59、PQ
60、，将l'代入l得Ax0AtcosBy0BtsinC0Ax0By0C
61、t
62、
63、
64、...........(1)整理后得AcosBsin'当ll时，我们讨论与l的
65、倾斜角的关系：Atan0,不妨令A>0,B<00当为锐角时（B）有90（图2）tanBAcossin222221tanABAB1
66、B
67、Bsincos222221tanABABAtan0,不妨令A>0,B>00当为钝角时（B）有90（图3）’.；得到的结果和上述形式相同，将此结果代入①得
68、Ax0By0C
69、
70、Ax0By0C
71、yPQ
72、t
73、22ABA2B2
74、
75、n2222ABABxl七、向量法图五证：如图五，设直线l:AxByC0(A0,B0)的一个Bn(1,)法向量A，Q直线上任意一点，则PQ(x1x0,y1y0)。从而
76、点P到直线的距离为：B
77、xx(yy)
78、
79、nPQ
80、1010
81、A(xx)B(yy)
82、A1010d222
83、n
84、BAB12A
85、Ax1By1Ax0By0
86、
87、Ax0By0C
88、P点在直线l上,Ax1By1C0,从而d2222ABAB附：方案一：设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足yRP(x0,y0)为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜dQBoxS率为A（A≠0），根据点斜式写出直l线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线l的距离为d王新敞方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴
89、、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R(x1,y0)；作y轴的平行线，交l于点S(x0,y2)，’.；A1x1By0C0By0CAx0Cx1,y2由Ax0By2C0得AB.Ax0By0C所以，｜PＲ｜＝｜x0x1｜＝AAx0By0C｜PS｜＝｜y0y2｜＝B2222ABPRPS｜ＲS｜＝AB×｜Ax0By0C｜由三角形面积公式可知：d·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜
