2015届高三数学总复习学案5函数的单调性与最值.doc

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1、自主梳理(3)单调区间：如果函数y＝f(x)在某个区间上是单调增函数或减函数，那么说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为__________．(4)函数y＝x＋(a>0)在(－∞，－)，(，＋∞)上单调________；在(－，0)，(0，)上单调________；函数y＝x＋(a<0)在____________上单调递增．2．最值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)(或≥f(x0))，则称f(x0)为y＝f(x)的最____(

2、或最____)值．自我检测1．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是________________．(用“单调减函数”、“单调增函数”、“不单调”填空)2．(2011·连云港模拟)设f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a为实数，则有f(a2＋1)________f(a)．(填“>”、“<”或“＝”)3．下列函数在(0,1)上是增函数的是________(填序号)．①y＝1－2x；②y＝；③y＝－x2＋2x；④y＝5.4．若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋4是区间(－∞，4]上

3、的减函数，则实数a的取值范围是________．5．当x∈[0,5]时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为______________________．探究点一　函数单调性的判定及证明例1　设函数f(x)＝(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性．变式迁移1　已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，且f(5)＝1，设F(x)＝f(x)＋，讨论F(x)的单调性，并证明你的结论．探究点二　函数的单调性与最值例2　已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝时，求函数f

4、(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．变式迁移2　已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．探究点三　抽象函数的单调性例3　已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．变式迁移3　已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)

5、求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(

6、x

7、)<－2.分类讨论及数形结合思想例　(14分)求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．【答题模板】解　f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.[2分](1)当a<0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.[5分](2)当0≤a<1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.[8分](3)当1

8、x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.[11分](4)当a>2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.综上，(1)当a<0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；(2)当0≤a<1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；(3)当12时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.[14分]【突破思维障碍】(1)二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定

9、的．故只需确定对称轴与区间的关系．由于对称轴是x＝a，而a的取值不定，从而导致了分类讨论．(2)不是应该分a<0,0≤a≤2，a>2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0)，也有可能是f(2)．函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有：(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)单调性的运算性质．总结如下：若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：(1)f(x)与f(x)＋C具有相同的单调性

10、．(2)f(x)与af(x)，当a>0时，具有相同的单调性，当a<0时，具有相反的单调性．(3)当f(x)恒不等于零时，f(x)与具有相反的单调性．(4)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)＋g(x)是增(减)函数．(5)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)·g