笛卡尔坐标系.doc

《笛卡尔坐标系.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、笛卡儿坐标系（在这篇文章内，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用  表示；而其大小则用  来表示。）在数学里，笛卡儿坐标系（Cartesian坐标系），也称直角坐标系，是一种正交坐标系。参阅图1，二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0点重合的数轴构成的。在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的。在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系。采用直角坐标，几何形状可以用代数公式明确的表达出来。几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守这代数公式。例如，一个圆圈

2、，半径是2，圆心位于直角坐标系的原点。圆圈可以用公式表达为：。图1历史笛卡尔坐标系是由法国数学家勒内·笛卡尔创建的。1637年，笛卡尔发表了巨作《方法论》。这本专门研究与讨论西方治学方法的书，提供了许多正确的见解与良好的建议，对于后来的西方学术发展，有很大的贡献。为了显示新方法的优点与果效，以及对他个人在科学研究方面的帮助，在《方法论》的附录中，他增添了另外一本书《几何》。有关笛卡儿坐标系的研究，就是出现于《几何》这本书内。笛卡儿在坐标系这方面的研究结合了代数与欧几里得几何，对于后来解析几何、微积分、与

3、地图学的建树，具有关键的开导力。二维坐标系统参阅图2，二维的直角坐标系通常由两个互相垂直的坐标轴设定，通常分别称为x-轴和y-轴；两个坐标轴的相交点，称为原点，通常标记为O，既有“零”的意思，又是英语“Origin”的首字母。每一个轴都指向一个特定的方向。这两个不同线的坐标轴，决定了一个平面，称为 xy-平面，又称为笛卡儿平面。通常两个坐标轴只要互相垂直，其指向何方对于分析问题是没有影响的，但习惯性地（见右图），x-轴被水平摆放，称为横轴，通常指向右方；y-轴被竖直摆放而称为纵轴，通常指向上方。两个坐标

4、轴这样的位置关系，称为二维的右手坐标系，或右手系。如果把这个右手系画在一张透明纸片上，则在平面内无论怎样旋转它，所得到的都叫做右手系；但如果把纸片翻转，其背面看到的坐标系则称为“左手系”。这和照镜子时左右对掉的性质有关。图2为了要知道坐标轴的任何一点，离原点的距离。假设，我们可以刻画数值于坐标轴。那么，从原点开始，往坐标轴所指的方向，每隔一个单位长度，就刻画数值于坐标轴。这数值是刻画的次数，也是离原点的正值整数距离；同样地，背着坐标轴所指的方向，我们也可以刻画出离原点的负值整数距离。称x-轴刻画的数值为

5、x-坐标，又称横坐标，称y-轴刻画的数值为y-坐标，又称纵坐标。虽然，在这里，这两个坐标都是整数，对应于坐标轴特定的点。按照比例，我们可以推广至实数坐标和其所对应的坐标轴的每一个点。这两个坐标就是直角坐标系的直角坐标，标记为。任何一个点P在平面的位置，可以用直角坐标来独特表达。只要从点P画一条垂直于x-轴的直线。从这条直线与x-轴的相交点，可以找到点P的x-坐标。同样地，可以找到点P的y-坐标。这样，我们可以得到点P的直角坐标。例如，参阅图3，点P的直角坐标是  。直角坐标系也可以推广至三维空间与高维空

6、间 (higherdimension)。参阅图3，直角坐标系的两个坐标轴将平面分成了四个部分，称为象限，分别用罗马数字编号为  ， ， ， 。依照惯例，象限  的两个坐标都是正值；象限  的x-坐标是负值，y-坐标是正值；象限  的两个坐标都是负值的；象限  的x-坐标是正值，y-坐标是负值。所以，象限的编号是按照逆时针方向，从象限  编到象限  。图3三维坐标系统在原本的二维直角坐标系，再添加一个垂直于x-轴，y-轴的坐标轴，称为 z-轴。假若，这三个坐标轴满足右手定则，则可得到三维的直角坐标系。这z

7、-轴与x-轴，y-轴相互正交于原点。在三维空间的任何一点P，可以用直角坐标 来表达其位置。例如，参阅图5，两个点P与Q的直角坐标分别为  与  。三个平面，xy-平面，yz-平面，xz-平面，将三维空间分成了八个部分，称为卦限 (octant)。与二维空间的四个象限不同，只有一个卦限有编号。第一号卦限的每一个点的三个坐标都是正值的。图4-直角坐标系的几个坐标曲面。红色平面的  。黄色平面的  。蓝色平面的  。z-轴是竖直的，以白色表示。x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点P（以黑色的圆球表示），直角

8、坐标大约为  。图5-三维直角坐标系。y-轴的方向是远离读者。图6-三维直角坐标系。x-轴的方向是亲近读者。取向二维空间直角坐标系的x-轴与y-轴必须相互垂直。称包含y-轴的直线为y-线。在二维空间里，当我们设定了x-轴的位置与方向的同时，我们也设定了y-线的方向。可是，我们仍旧必须选择，在y-线的以原点为共同点的两条半线中，那一条半线的点的坐标是正值的，那一条是负值的？任何一种选择决定了xy-平面的取向。参阅图1。通常，我们选择的取向是，