初一暑假竞赛班第五讲高斯函数.doc

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1、高斯函数一、基础知识（一）概念对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，称[x]为高斯函数或取整函数。对任意实数x，{x}＝x－[x]，称为x的小数部分。若x＝n＋a，n为整数，0≤a＜1，则[x]＝n，{x}＝a，x＝[x]＋{x}。（二）性质1．（1）[x]≤x＜[x]＋1；（2）x－1＜[x]≤x；（3）0≤{x}＜1。2．（1）[n＋x]＝n＋[x]，n为整数；（2）[x]＋[y]≤[x＋y]；（3）{x}＋{y}≥{x＋y}；（4）若x≥0，y≥0，则[xy]≥[x][y]。3．若[x]＝[y]，则

2、x－y

3、＜1。4．5．若a，b是两整数，且b＞0，则。二、例题

4、例1(1)[0.03]=(2)[-2.5]=(3)[10.25]=(4)[-7+2.7]=(5)=(6)=例2已知M＝，求[M]．例3如果[x]＝3，[y]＝1，[z]＝1，求[x＋y－z]的值．例4设m，n都是正整数，请问1，2，3，…，m中共有多少个数是n的倍数？例5求的值。例6解下列方程：（1）[x]－2＝0；（2）2x－[x]＝．例7设x为任意实数，求证：。推广：设x为任意实数，n为正整数，则。例8解方程：[x3]＋[x2]＋[x]＝{x}－1；例9满足=546．求[100]的解．例10求方程的解．例11求的和．例12对于任何正整数n和实数x，证明：。例13已知数列

5、满足，求．例14在项数为2009的数列中有多少个不同的整数？例15设，求证：三、练习1．已知M＝，求[M]。2．如果[x]＝3，[y]＝0，[z]＝1，求[x＋y－z]的值。3．求出所有的正整数使得，其中表示不超过的最大整数值。4．解方程：[x]2－[x－4]－6＝0。