备战2021年新高考数学纠错笔记专题03 函数-（解析版）.docx

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1、专题03函数易错点易错点1忽视端点值若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数是一个函数，而不是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．【例1】　已知函数f(x)＝为R上的减函数，则实数a的取值范围为____.【错解】因为函数f(x)＝为R上的减函数，所以f(x)＝(a－1)x－a在(－∞，1]上是减函数，且f(x)＝(a＋1)x2在(1，＋∞)上是减函数，所以解得a＜－1.所以a的取值范围为{a

2、a＜－1}．【错因分析】上

3、述解法只考虑了分段函数在每一段的单调性，而忽视了接点处两段函数值的大小关系，从而导致答案错误．【正解】因为函数f(x)＝为R上的减函数，所以解得a≤－4.所以a的取值范围为{a

4、a≤－4}．【巩固练习1】已知函数的值域是，则实数的取值范围是A．B．C．D．【解析】当0≤x≤4时，f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=1，故函数f（x）在[0，1]上单调递增，[1，4]上单调递减，此时函数f（x）的取值范围是[﹣8，1]，又函数f（x）的值域为[﹣8，1]，所以y=﹣，a≤

5、x＜0的值域为[﹣8，1]的子集，因为y=﹣，a≤x＜0单调递增，所以只需即可，解得﹣3≤a＜0.故选B．【答案】B易错点2换元求解析式时忽略自变量范函数解析式的四种常用求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(x)与f()或f(

6、－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)．【例2】已知，则f（x）的解析式为.【错解】令，则x＝t2＋1，所以f（t）＝3－（t2＋1）＝2－t2，即有f（x）＝2－x2.【错因分析】本例的错误是由于忽视了已知条件中“f”作用的对象“”是有范围限制的．利用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件．【正解】令，则t≥0，且x＝t2＋1，所以f（t）＝3－（t2＋1）＝2－t2（t≥0），即f（x）＝2－x2（x≥0）．【巩固练习2】已知函数，求函数的解析式.

7、【解析】方法1：令，则，，所以，所以，所以所求函数的解析式为.方法2：因为，令，，所以所求函数的解析式为.易错点3判断函数单调性忽视定义域函数的单调性是一个局部概念，单调区间是定义域的一个子区间，因此，在解答函数的单调性问题时必须首先考虑函数的定义域，【例3】试求函数f(x)＝log4(7＋6x－x2)的单调递增区间.【错解】设y＝log4u，u＝g(x)＝7＋6x－x2＝－(x－3)2＋16，则对二次函数u＝g(x)，当x≤3时为增函数；当x≥3时为减函数，又y＝log4u是增函数，故由复合函数的单调性知，所求

8、函数的单调递增区间为(－∞,3].【错解分析】上述解答中就是忽视了原函数的定义域{x

9、－1≤x≤7}，因为函数的单调区间是函数定义域的子区间.【正解】设y＝log4u，u＝g(x)＝7＋6x－x2＝－(x－3)2＋16，则对二次函数u＝g(x)，当x≤3时为增函数；当x≥3时为减函数，又y＝log4u是增函数，且由7＋6x－x2＞0得函数的定义域为(－1,7)，于是函数f(x)的增区间是(－1,3].【巩固练习3】函数y＝log3(x2－4x＋3)的单调区间为.【解析】令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝lo

10、g3u与u＝x2－4x＋3的复合函数．令u＝x2－4x＋3>0，则x<1或x>3.所以函数y＝log3(x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，所以u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝log3u在(0，＋∞)上是增函数．所以y＝log3(x2－4x＋3)的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)．易错点4忽略函数奇偶性对定义域的限制条件判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，奇函数、偶函数

11、的定义域应关于原点对称，不关于原点对称的既不是奇函数也不是偶函数.再找与的关系.若，则函数为偶函数；若，则函数为奇函数.【例4】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x－1)；(2)f(x)＝.【错解】(1)f(x)＝(x－1)·＝.因为f(－x)＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数．(2)f(－x)＝＝，因为f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，所以f(x)为非