2019年 第2章 线性系统的数学模型ppt课件.ppt

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1、第2章线性系统的数学模型1本章的主要内容2.1控制系统的微分方程-建立和求解2.2微分方程的线性化2.3传递函数2.4方框图（结构图）2.5信号流图-梅逊公式补充：各种数学模型的相互转换2概述[数学模型]：描述控制系统输入、输出变量及内部各变量之间动态关系的数学表达式。[建立方法]：解析法和实验法常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图，信号流图，频率特性以及状态空间描述等。建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第一步也是最重要的一步。概述32.1线性系统的微分方程4微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力

2、学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。控制系统的微分方程输入输出LRCi[例1]：写出RLC串联电路的微分方程。①②[解]：据基尔霍夫电路定理：5[例2]求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。[解]：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。mfmFF图2图1控制系统的微分方程由②：，代入①得：这是一个线性定常二阶微分方程。6根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：[讨论]：相似系统

3、可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。相似系统注意到:例1和例2的微分方程形式是完全一样的。7[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。82.2微分方程的线性化（选）9若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附

4、近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)，若取某一平衡状态为工作点，如图，附近有点为，当很小时，AB段可近似看做线性的。非线性环节微分方程的线性化AByx010AByx0设f(x)在点连续可微，则将函数在该点展开为泰勒级数，得：若很小，则，即式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程，是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。非线性环节微分方程的线性化11对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近展开。设双变量非线性方程为：，工作点为。则可近似为：式中：，。为与工作点有

5、关的常数。非线性环节微分方程的线性化12线性系统微分方程的编写步骤：⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。线性系统微分方程的编写步骤13①定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定义域t>0，那么下式即是拉氏变换式：,式中s为复数。记作一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是：⑴t<0时，f(t)=

6、0；⑵t≥0时，f(t)分段连续；⑶。F(s)—象函数，f(t)—原函数。记为反拉氏变换。复习拉氏变换复习拉氏变换14⑴线性性质：⑵微分定理：⑶积分定理：（设初值为零）⑷时滞定理：⑸初值定理：复习拉氏变换②性质：15⑹终值定理：⑺卷积定理：③常用函数的拉氏变换：单位阶跃函数：单位脉冲函数：单位斜坡函数：单位抛物线函数：正弦函数：其他函数可以查阅相关表格获得。复习拉氏变换16小结系统微分方程的列写；相似系统，非线性环节的线性化；线性方程的求解（用拉氏变换法）；拉氏变换及性质。172.2传递函数18传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，可以：不必求解微分

7、方程就可以研究零初始条件系统在输入作用下的动态过程。了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响--分析可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求---综合传递函数的基本概念19环节的微分方程为：式中：r(t)—输入，c(t)—输出为常系数2.3.1、传递函数的基本概念将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）传递函数的基本概念称为环节的传递函数，即：环节的传递函数是它的微分方程在零初始条件下输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换之比。也可写成：C(s)=G(s)R(s)。20传递函数的基本概念[总结]:传递函数是由线性微分方程（线性系统）