资源描述：
《离散数学电子教材.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、.第4章映射（函数）映射（函数）是一个基本的数学概念，它是一个特殊的二元关系，我们可以把映射看作输入输出关系，它把一个集合（输入集合）的元素变成另一个集合（输出集合）的元素。例如，计算机中的程序可以把一定范围内的任一组数据变化成另一组数据，它就是一个映射。映射的概念经常出现在开关理论、自动机理论和可计算理论等领域中，在计算机科学中有着广泛的应用。4.1映射（函数）的概念考虑下面几个由图4-1所示的集合X到集合Y的关系。图4-1在这６个关系中，后４个关系R3，R4，R5，R6与R1，R2不同，它们都有下面两'..个特点：（1）其定义域为X；（2）X中任一元素a对应唯一一个
2、Y中的元素b。我们称具有这样两个特征的关系为映射（函数）。定义4.1.1设X,Y是两个任意的集合，而f是X到Y的一个关系，若对每一个xX，都存在一个唯一的yY，使得x,yf，则称关系f为X到Y的映射(Mapping)，记作ff：XY或XY若x,yf，则称x为自变量(IndependentVariable)，称y为映射f在x处的值（或像（Image）），x,yf亦可记作yf(x)，f的值域ranfY，有时也记为Rf，即Rf{yyY(x)(xXyf(x))}或记为f(X){f(x)xX}集合Y称为f的共域，Rf亦称为映射f的像集合。对于AX，称f(A)为A的像（Imageo
3、fA），定义为f(A){f(x)xA}{yx(xAyf(x))}显然,，f(),f({x}){f(x)}(xX)。映射f是X到Y的特殊的二元关系，其特殊性在于：（1）domfX，即关系f的前域是X本身，而不是X的真子集。（2）若x,yf，则映射f在x处的值y是唯一的，即x,yfx,zfyz例4.1.1设X{a,b,c,d},Y{1,2,3,4,5}，且有f{a,1,b,3,c,4,d,4}，求domf、Rf和f(x)。解domfX{a,b,c,d}ranf{1,3,4}f(a)1,f(b)3,f(c)4,f(d)4'..例4.1.2判别下列关系中哪个构成映射。2（1）f
4、{x,xxR}2（2）f{x,xxR}（3）f{x1,x2x1,x2N,且x1x210}（4）f{x1,x2x1,x2N,且x1x210}（5）f{x1,x2x1,x2N,x2为小于x1的素数个数}（6）f{x,yx,yR,xy}（7）f{x,yx,yR,yx}（8）f{x,yx,yR,xy}解（1）构成映射。22（2）x,xf,x,xf，即值y不唯一，故不构成映射。（3）因为x1不能取定义域中所有的值，且x1对应很多x2，故不构成映射。（4）因为x1不能取定义域中所有的值，故不构成映射。（5）构成映射。（6）构成映射。（7）因为对xR，值y不唯一，故不构成映射。（8）
5、因为对xR，值y不唯一，故不构成映射。例4.1.3下列集合中，哪些是映射？并求映射的定义域和值域。（1）S1{1,2,3,2,3,4,3,1,4,4,1,4}（2）S{1,2,3,2,3,4,3,3,2}2（3）S3{1,2,3,1,2,4,2,3,4}（4）S4{1,2,3,2,2,3,3,2,3}解（1）是映射。domS1{1,2,3,4}，RS1{1,4,2,3,3,4}（2）是映射。domS2{1,2,3}，RS{2,3,3,2,3,4}2（3）不是映射。'..（4）是映射。domS4{1,2,3}，RS{2,3}4请注意区别x的像和{x}的像两个不同的概念。x
6、的像f(x)Y，而像f({x})Y。关于像有下列性质：定理4.1.1设f为X到Y映射，对任意AX,BX，有（1）f(AUB)f(A)Uf(B)；（2）f(AIB)f(A)If(B)；（3）f(A)f(B)f(AB)。证明（1）对任一yY，yf(AUB)x((xAUB)(yf(x)))x(((xA)(xB))(yf(x)))x(((xA)(yf(x)))((xB)(yf(x))))x((xA)(yf(x)))x((xB)(yf(x)))(yf(A))(yf(B))yf(A)Uf(B)因此，f(AUB)f(A)Uf(B)。（2）、（3）的证明请读者完成。注意：（2）、（3）
7、中的“”不能用“=”代替。下面我们举例说明。例4.1.4设X{a,b,c,d}，Y{1,2,3,4,5}，f：XY如图4-2所示。那么，f({a}){2}f({b}){2}f({a})If({b}){2}f({a})f({b})f({a}I{b})f()f({a}{b})f({a}){2}'..f({a}I{b})f({a})If({b})f({a})f({b})f({a}{b})图4-2例4.1.4图由于映射归结为关系，因而映射的表示及运算可归结为集合的表示及运算，映射的相等的概念、包含概念，也便归结为关系相等的概念及包含概念。定义4.
