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1、.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.12ln(1x)(1)lim(cosx)x022(2)曲面zxy与平面2x4yz0平行的切平面的方程是.2(3)设xancosnx(x)，则a2=.n021111(4)从R的基1,2到基1,2的过渡矩阵为.01126x,0xy1,(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)则P{XY1}0,其他，.(6)已知一批零件的长度X(单位：cmcm)服从正态分布N(,1)，从中随机地抽取16个零件
2、，得到长度的平均值为40(cm)，则的置信度为0.95的置信区间是.(注：标准正态分布函数值(1.96)0.975,(1.645)0.95.)二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)设函数f(x)在(,)内连续，其导函数的图形如图所示，y则f(x)有()(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.x(D)三个极小值点和一个极大值点.(2)设{an},{bn},{cn}均
3、为非负数列，且liman0,limbn1,limcn,则必有nnn()(A)anbn对任意n成立.(B)bncn对任意n成立.(C)极限limancn不存在.(D)极限limbncn不存在.nn;..f(x,y)xy(3)已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且lim1，则()222x0,y0(xy)(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.(4)设向量组
4、I：1,2,,r可由向量组II：1,2,,s线性表示，则()(A)当rs时，向量组II必线性相关.(B)当rs时，向量组II必线性相关.(C)当rs时，向量组I必线性相关.(D)当rs时，向量组I必线性相关.(5)设有齐次线性方程组Ax0和Bx0,其中A,B均为mn矩阵，现有4个命题：①若Ax0的解均是Bx0的解，则秩(A)秩(B)；②若秩(A)秩(B)，则Ax0的解均是Bx0的解；③若Ax0与Bx0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则Ax0与Bx0同解.以上命题中正确的是()(A)①②.(B)①③.(C
5、)②④.(D)③④.1(6)设随机变量X~t(n)(n1),Y，则()2X22(A)Y~(n).(B)Y~(n1).(C)Y~F(n,1).(D)Y~F(1,n).三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A;(2)求D绕直线xe旋转一周所得旋转体的体积V.四、(本题满分12分)n12x(1)将函数f(x)arctan展开成x的幂级数，并求级数的和.12xn02n1;..五、(本题满分10分)已知平面区域D{(x,y)0x,0y}，L为D的正向边界.试证
6、：sinysinxsinysinx(1)xedyyedxxedyyedx;LLsinysinx2(2)xedyyedx2.L六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k,k0).汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r1).问(1)汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？(注：m
7、表示长度单位米.)七、(本题满分12分)设函数yy(x))在(,)内具有二阶导数，且y0,xx(y)是yy(x)的反函数.2dxdx3(1)试将xx(y)所满足的微分方程(ysinx)()0变换为yy(x)满2dydy足的微分方程；3(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)0,y(0)的解.2八、(本题满分12分)设函数f(x)连续且恒大于零，22222f(xyz)dvf(xy)d(t)D(t)F(t)，G(t)，22tf(xy)d2f(x)dx1D(t)2222222其中(t){(x,y,z)xyzt}，D(t){(
8、x,y)xyt}.(1)讨论F(t)在区间(0,)内的单调性.2(2)证明当t0时，F(t)G(t).;..九、(本题满分10分)3220101*设矩阵A232，P101，BPAP，求B2E的特征值与特征223001*向量，其中A为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直
