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1、.函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性）1、奇偶性:（1）奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式f(x)f(x)0（2）偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式f(x)f(x)2、奇偶性的拓展:同一函数的对称性（1）函数的轴对称：函数yf(x)关于xa对称f(ax)f(ax)f(ax)f(ax)也可以写成f(x)f(2ax)或f(x)f(2ax)若写成：f(ax)f(bx)，则函数yf(x)关于直线x(ax)(bx)ab对称22证明：设点
2、(x1,y1)在yf(x)上，通过f(x)f(2ax)可知，y1f(x1)f(2ax1)，即点(2ax1,y1)也在yf(x)上，而点(x1,y1)与点(2ax1,y1)关于x=a对称。得证。说明：关于xa对称要求横坐标之和为2a，纵坐标相等。∵(ax1,y1)与(ax1,y1)关于xa对称，∴函数yf(x)关于xa对称f(ax)f(ax)∵(x1,y1)与(2ax1,y1)关于xa对称，∴函数yf(x)关于xa对称f(x)f(2ax)∵(x1,y1)与(2ax1,y1)关于xa对称，∴函数yf(x)关于xa对称f
3、(x)f(2ax)（2）函数的点对称：函数yf(x)关于点(a,b)对称f(ax)f(ax)2b上述关系也可以写成f(2ax)f(x)2b或f(2ax)f(x)2b若写成：f(ax)f(bx)c，函数yf(x)关于点(ab,c)对称22..证明：设点(x1,y1)在yf(x)上，即y1f(x1)，通过f(2ax)f(x)2b可知，f(2ax1)f(x1)2b，所以f(2ax1)2bf(x1)2by1，所以点(2ax1,2by1)也在yf(x)上，而点(2ax1,2by1)与(x1,y1)关于(a,b)对称得证。说明
4、:关于点(a,b)对称要求横坐标之和为2a,纵坐标之和为2b,如(ax)与（ax)之和为2a。（3）函数yf(x)关于点yb对称:假设函数关于yb对称，即关于任一个x值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于yb对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于yb对称，比如圆c(x,y)x2y240它会关于y=0对称。（4）复合函数的奇偶性的性质定理：性质1、复数函数y＝f[g(x)]为偶函数，则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(性质2、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则
5、f[g(－x)]＝f[g(x)]。－x)]＝－f[g(x)]。f(x＋a)＝f(－x＋a)；复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)。性质3、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则y＝f(x)关于直线x＝a轴对称。复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则y＝f(x)关于点(a,0)中心对称。总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程总结：x的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。总结：x的系数同为为1，具有周期性。(
6、二)、两个函数的图象对称性1、yf(x)与yf(x)关于X轴对称。证明：设yf(x)上任一点为(x1,y1)则y1f(x1)，所以yf(x)经过点(x1,y1)∵(x1,y1)与(x1,y1)关于X轴对称，∴y1f(x1)与yf(x)关于X轴对称.注：换种说法：yf(x)与yg(x)f(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于..y0对称。2、yf(x)与yf(x)关于Y轴对称。证明：设yf(x)上任一点为(x1,y1)则y1f(x1)，所以yf(x)经过点(x1,y1)∵(x1,y1)与(x1,y1)关于Y轴对称，
7、∴yf(x)与yf(x)关于Y轴对称。注：因为(x1,y1)代入yf(x)得y1f((x1))f(x1)所以yf(x)经过点(x1,y1)换种说法：yf(x)与yg(x)f(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于x0对称。g(x)f((x))f(x)3、yf(x)与yf(2ax)关于直线xa对称。证明：设yf(x)上任一点为(x1,y1)则y1f(x1)，所以yf(2ax)经过点(2ax1,y1)∵(x1,y1)与(2ax1,y1)关于xa轴对称，∴yf(x)与yf(2ax)关于直线xa对称。注：换种说法：yf(x
8、)与yg(x)f(2ax)若满足f(x)g(2ax)，即它们关于xa对称。4、yf(x)与y2af(x)关于直线ya对称。证明：设yf(x)上任一点为(x1,y1)则y1f(x1)，所以y2af(x)经过点(x1,2ay1)∵(x1,y1)与(x1,2ay1)关于ya轴对称，∴yf(x)与y2af(x)关于直线ya对称.注：换种说法：yf(x)与yg(x)2
