北师大版八年级(上)数学知识点归纳总结材料.doc

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1、八年级上册第一章勾股定理第1节探索勾股定理一、勾股定理的容直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2。【说明】①勾股定理在很多国家文献中被称为毕达哥拉斯定理，我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，所以又称其为勾股定理。②勾股定理揭示的是直角三角形三边长度的数量关系，因此它只适用于直角三角形。③勾股定理公式的推广a2＝c2－b2＝（c＋b）（c－b）b2＝c2－a2＝（c＋a）（c－a）二、勾股定理的证明1、证法①如图①

2、所示，在正方形网格中有一个直角三角形和三个分别以它的三边为边的正方形。通过观察可知，正方形A的面积等于16，正方形B的面积等于9，正方形C的面积等于25，即S正方形A＋S正方形B＝S正方形C由此面积关系，可以得出这个直角三角形三条边之间的关系是：a2＋b2＝c22、证法②如图②所示，用硬纸板做成两个全等的直角三角形，两条直角边分别为a、b，斜边为c，然后再用硬纸板做成一个腰长为c的等腰直角三角形。用这三个直角三角形拼成了一个直角梯形ABCD。∵又∵∴∴a2＋b2＝c23、证法③如图③所示，用硬纸板做成四个全等的直角三角形，两条直角

3、边分别为a、b，斜边为c，然后再用硬纸板做成一个边长为c的小正方形。用这四个直角三角形和小正方形拼成了一个大的正方形。∵又∵∴∴a2＋b2＝c2第2节一定是直角三角形吗一、直角三角形的判别条件1、利用角来判别（定义法）有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。【说明】直角三角形的两个锐角互余。2、利用边来判别（勾股定理的逆定理）如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。【说明】①若在△ABC中，a2＋b2≠c2，并不能判定△ABC一定不是直角三角形，例如a＝3，b＝5，c＝4，虽然a2＋b2≠c

4、2，但是a2＋c2＝b2，所以△ABC依然是直角三角形，此时a、c是直角边，而b是斜边。因此，在一个三角形中，有任意两条边的平方和等于第三边的平方，这个三角形就是直角三角形。确切地说，(较短边)2＋(较长边)2＝(最长边)2时，此三角形是直角三角形。②一个三角形的三边长分别为a，b，c，且c最大。若a2＋b2＜c2，则这个三角形为钝角三角形；若a2＋b2＝c2，则这个三角形为直角三角形；若a2＋b2＞c2，则这个三角形为锐角三角形。二、勾股数满足a2＋b2＝c2的三个正整数称为勾股数。【说明】①勾股数的定义包含两个条件：一是这三个

5、数必须是正整数，二是这三个数必须满足关系式a2＋b2＝c2，二者缺一不可。例如0.3，0.4，0.5，尽管满足0.32＋0.42＝0.52，但它们都是小数，所以它们不是勾股数。②若a，b，c是勾股数，则ka，kb，kc（k为正整数）也是勾股数。例如3，4，5是勾股数，所以6，8，10也是勾股数。③以勾股数作为三边长的三角形一定是直角三角形，但直角三角形的三边长不一定是勾股数，因为直角三角形的三条边长不一定都是整数。④常见的勾股数：3，4，5；6，8，10；5，12，13；8，15，17；7，24，25……第3节勾股定理的应用一、利

6、用勾股定理求高度、测距离【例1】如图，小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开离旗杆底端5米后，发现下端刚好与地面接触，求旗杆的高度。解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为（x＋1）米，根据勾股定理得x2＋52＝(x＋1)2解得x＝12答：旗杆的高度为12米。【例2】放学后小华和小夏从学校分别沿东南方向和西南方向回家，若小华和小夏走的速度都是40米/分，小华15分钟到家，小夏20分钟到家，求小华和小夏家的直线距离是多少。解：因为小华家在学校的东南方向，小夏家在学校的西南方向，所以两条路的夹

7、角为直角。如图所示，∠AOB＝90°。由题意知，OA＝40×20＝800（米），OB＝40×15＝600（米）根据勾股定理得，AB2＝OA2＋OB2＝8002＋6002＝10002，所以AB＝1000（米）答：小华和小夏家的直线距离是1000米。二、利用勾股定理求面积【例3】已知一个直角三角形的周长为12，斜边长为5，求这个直角三角形的面积。解：如图所示，在Rt△ACB中，c＝5，a＋b＋c＝12，所以a＋b＝7，所以(a＋b)2＝49，即a2＋2ab＋b2＝49，又因为a2＋b2＝c2＝25，所以2ab＝24，所以ab＝12，所

8、以这个三角形的面积S＝ab＝6【例4】如图，以Rt△ACB的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若AB＝3，求图中阴影部分的面积。解：设AE＝BE＝x，由勾股定理得，x2＋x2＝32，即2x2＝9，所以x2＝，所以S△AEB＝x2＝；同理可得，S△