[工学]哈工大威海理论力学学习课件配哈工大第七版下册第四章.ppt

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1、第四章机械振动基础机械振动的特点：围绕其平衡位置往复运动。学习目的：利用有益的振动，减少有害的振动。振动系统包括：单自由度系统、多自由度系统和连续体等。1.自由振动微分方程§4－1单自由度系统的自由振动设弹簧原长为在重力的作用下刚度系数为k弹簧的变形为这一位置为平衡位置称为静变形取重物的平衡位置点O为坐标原点其运动微分方程为取x轴的正向铅直向下则上式表明：物体偏离平衡位置于坐标x处将受到与偏离距离成正比而与偏离方向相反的合力恢复力只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动－－无阻尼自由振动微分方程的标准形式其解具有如下形式其中r为待定常数本征方程本征方程的两个根为和是两个共轭

2、虚根微分方程的解为其中和是积分常数，由运动的起始条件确定令：无阻尼自由振动是简谐振动2.无阻尼自由振动的特点（1）固有频率－－周期振动若运动规律x(t)可以写为T为常数－－周期由式自由振动的周期为其中－－振动的频率，表示每秒钟的振动次数。由式只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关而与运动的初始条件无关它是振动系统固有的特性所以称为固有角（圆）频率（一般也称固有频率）m=P/g（2）振幅与初相角A表示相对于振动中心点O的最大位移－－振幅－－相位（或相位角）表示质点在某瞬时t的位置而θ表示质点运动的起始位置－－初相角设t=0时，3.弹簧的并联与串联（1）弹簧并联在平衡时有令－－等效弹

3、簧刚度系数固有频率当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度系数等于两个弹簧刚度系数的和。这个结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。（2）弹簧串联两个弹簧总的静伸长若设串联弹簧系统的等效弹簧刚度系数为则有比较上面两式得固有频率为当两个弹簧串联时，其等效弹簧刚度系数的倒数等于两个弹簧刚度系数倒数的和。这一结论也可以推广到多个弹簧串联的情形4.其他类型的单自由振动系统图为一扭振系统运动微分方程为令则上式可变为例4－1已知：质量为m＝0.5kg的物体沿光滑斜面无初速度滑下。当物块下落高度h=0.1m时，撞于无质量的弹簧上，并与弹簧不再分离，弹簧刚度系数k=0.8kN/m。倾角求：此系统振动的固有频率

4、和振幅并给出物块的运动方程。解：若物块平衡时，弹簧应有变形量以物块平衡位置O为原点，取x轴如图，运动微分方程为通解为固有频率当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点运动方程为例4－2已知：如图所示无重弹性梁，当中部放置质量m的物块时，其静挠度为2mm，若将此物块在梁未变形位置处无初速释放。求：系统的振动规律。解：此无重弹性梁相当于一弹簧,其静挠度相当于弹簧的静伸长则梁的刚度系数为取其平衡位置为坐标原点,x轴方向铅直向下运动微分方程为设固有频率在初瞬时t=0，物块位于未变形的梁上其坐标重物初速度则振幅为初相角最后得系统的自由振动规律为例4－3已知：图为一摆振系统，杆重不计球质量

5、为m。摆对轴O的转动惯量为J，弹簧刚度系数为k。杆于水平位置平衡。求：此系统微小振动的运动微分方程及振动固有频率。解：摆于水平平衡处，弹簧已有压缩量由平衡方程以平衡位置为原点，摆绕轴O的转动微分方程为例4－4已知：如图所示两个相同的塔轮，相啮合的齿轮半径皆为R，半径为r的鼓轮上绕有细绳。轮I连一铅直弹簧，轮II挂一重物，塔轮对轴的转动惯量皆为J，弹簧刚度系数为k，重物质量为m。求：此系统振动的固有频率。解：以系统平衡时重物的位置为原点，取x轴如图。系统的势能为不计摩擦，由系统的机械能守恒常数系统动能为上式两端对时间取一阶导数，得－－自由振动微分方程系统的固有频率为如图所示无阻尼振动

6、系统当系统作自由振动时，运动规律为速度为在瞬时t物块的动能为§4－2计算固有频率的能量法若选平衡位置为零势能点，有对于有重力影响的弹性系统，如果以平衡位置为零势能位置，则重力势能与弹性力势能之和，相当于由平衡位置处计算变形的单独弹性力的势能。当物体处于平衡位置（振动中心）时，物块具有最大动能当物块处于偏离振动中心的极端位置时，系统具有最大势能由机械守恒定律可得系统的固有频率例4－5求：系统作微振动时的固有频率。已知：如图振动系统中，摆杆OA对铰链点O的转动惯量J，杆的点A和B各安置一个弹簧，刚度系数分别为和。系统在水平位置处于平衡。解：系统振动时摆杆的最大角速度系统的最大动能为选择

7、平衡位置为零势能点最大势能为即解得固有频率由机械能守恒定律有例4－6求：圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。已知：如图表示一质量为m，半径为r的圆柱体，在一半径为R的圆弧槽上作无滑动的滚动。解：系统的动能为系统的势能为当圆柱体作微振动时，可认为设系统作自由振动时θ的变化规律为则系统的最大动能系统的最大势能由机械守恒定律有解得系统的固有频率为1.阻尼§4－3单自由度系统的有阻尼自由振动阻尼－－振动过程中的阻力。粘性阻尼－－当振动速度不大时，由于介质粘性引起的阻力近