2014年青荷杯高一数学竞赛试卷.doc

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1、2014年江西省莲塘一中“青荷杯”高一数学竞赛试卷一、填空题（每题5分，共50分）1．已知集合，，且，则的值为2．设函数，且对任意，则=_____________________。3.下列说法中，错误的是①、集合的非空真子集的个数是7；②、函数的单调递减区间是；③、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)=x-x4,则当x∈(0，+∞)时，f(x)=-x-x4④、已知f()=x+3，则=。4.设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比为5.已知+1是偶函数，则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是6．等比数列，，的公比是_________。7.已知是上

2、的偶函数，若将的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，若，则的值为。8.=9.设，n∈N。求的最大值。10.某学生对函数的性质进行研究，得出如下的结论：①函数在上单调递增，在上单调递减；②点是函数图像的一个对称中心；③函数图像关于直线对称；④存在常数，使对一切实数均成立．其中正确的结论是.答题卡：1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.二、解答题（每题10分，共50分）11.已知函数（，），且函数的最小正周期为．(1)求函数的解析式并求的最小值；(2)在中，角A，B，C所对的边分别为，若=1，,且，求边长．12.如图，已知点是边长为的正三角形的中心，线段经过点，

3、并绕点转动，分别交边、于点、；设，，其中，．（1）求表达式的值，并说明理由；（2）求面积的最大和最小值，并指出相应的、的值．13.数列满足：证明：（1）对任意为正整数；(2)对任意为完全平方数。14.已知、是关于的二次方程的两个根，且，若函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）递增，对任意的正数、，求证：．15.一个正整数，加上100为一个完全平方数，若加上168则为另一个完全平方数，求这个数。江西省莲塘一中2013-2014学年度青荷杯高一数学1答案1或—1或02解：=即。1.3答案②③④4解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，则2.由（1）（2）得，，即共线，且5答案解：由已知

4、条件可知，，函数图象与轴交点的纵坐标为+1。令，则.6．设公比为q，由已知条件知，，由比例性质，。7答案-18解：==，另解：（利用诱导公式配对求和）9．解：由已知，对任何n∈N，有，又因，故对任意x∈N，有。由于，故f（n）的最大值为。10解：为奇函数，则函数在，上单调性相同，所以①错；，所以②错；，所以③错；，令，所以④对．选④11、解（１），由得，………3分所以，所以………6分[来源:学#科#网]（２）由f(B)=1得，解得………8分又由知，所以………10分由余弦定理知=[来源:Z

5、xx

6、k.Com]所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　………12分(或由，解得,)

7、12.解：（1）如图延长AG交BC与F，G为△ABC的中心F为BC的中点，则有，，　即………………………………3分D、G、E三点共线　　故＝3………………………………5分（2）△ABC是边长为1的正三角形，，S＝mn由=3，0＜m1,0

8、数.…………………………10分（2）将①两边配方，得④由③≡∴≡≡0（mod3）∴为正整数。④式成立.是完全平方数.……………………………………………………20分14【解】（Ⅰ）由书籍，根据韦达定理有，，，∴　　　　………………………………………5分（Ⅱ）已知函数，∴而且对，，于是，∴函数在上是增函数　　　……10分。注意到对于任意的正数、，即，同理．　　　　………………………15分∴，，．于是，∴．而，∴．　……………………………………20分15.解：设这个数为，则其中（注：限定正的可减少讨论）。故，从而与则等于把拆开的因数1、2、4、17、34、68.这样就有六种情形。

9、又由于，且与同奇偶性，故所以。则。