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时间:2020-10-26
《2014年青荷杯高一数学竞赛试卷.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2014年江西省莲塘一中“青荷杯”高一数学竞赛试卷一、填空题(每题5分,共50分)1.已知集合,,且,则的值为2.设函数,且对任意,则=_____________________。3.下列说法中,错误的是①、集合的非空真子集的个数是7;②、函数的单调递减区间是;③、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,则当x∈(0,+∞)时,f(x)=-x-x4④、已知f()=x+3,则=。4.设O点在内部,且有,则的面积与的面积的比为5.已知+1是偶函数,则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是6.等比数列,,的公比是_________。7.已知是上
2、的偶函数,若将的图象向右平移一个单位后,则得到一个奇函数的图象,若,则的值为。8.=9.设,n∈N。求的最大值。10.某学生对函数的性质进行研究,得出如下的结论:①函数在上单调递增,在上单调递减;②点是函数图像的一个对称中心;③函数图像关于直线对称;④存在常数,使对一切实数均成立.其中正确的结论是.答题卡:1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.二、解答题(每题10分,共50分)11.已知函数(,),且函数的最小正周期为.(1)求函数的解析式并求的最小值;(2)在中,角A,B,C所对的边分别为,若=1,,且,求边长.12.如图,已知点是边长为的正三角形的中心,线段经过点,
3、并绕点转动,分别交边、于点、;设,,其中,.(1)求表达式的值,并说明理由;(2)求面积的最大和最小值,并指出相应的、的值.13.数列满足:证明:(1)对任意为正整数;(2)对任意为完全平方数。14.已知、是关于的二次方程的两个根,且,若函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)递增,对任意的正数、,求证:.15.一个正整数,加上100为一个完全平方数,若加上168则为另一个完全平方数,求这个数。江西省莲塘一中2013-2014学年度青荷杯高一数学1答案1或—1或02解:=即。1.3答案②③④4解:如图,设D,E分别是AC,BC边的中点,则2.由(1)(2)得,,即共线,且5答案解:由已知
4、条件可知,,函数图象与轴交点的纵坐标为+1。令,则.6.设公比为q,由已知条件知,,由比例性质,。7答案-18解:==,另解:(利用诱导公式配对求和)9.解:由已知,对任何n∈N,有,又因,故对任意x∈N,有。由于,故f(n)的最大值为。10解:为奇函数,则函数在,上单调性相同,所以①错;,所以②错;,所以③错;,令,所以④对.选④11、解(1),由得,………3分所以,所以………6分[来源:学#科#网](2)由f(B)=1得,解得………8分又由知,所以………10分由余弦定理知=[来源:Z
5、xx
6、k.Com]所以 ………12分(或由,解得,)
7、12.解:(1)如图延长AG交BC与F,G为△ABC的中心F为BC的中点,则有,, 即………………………………3分D、G、E三点共线 故=3………………………………5分(2)△ABC是边长为1的正三角形,,S=mn由=3,0<m1,08、数.…………………………10分(2)将①两边配方,得④由③≡∴≡≡0(mod3)∴为正整数。④式成立.是完全平方数.……………………………………………………20分14【解】(Ⅰ)由书籍,根据韦达定理有,,,∴ ………………………………………5分(Ⅱ)已知函数,∴而且对,,于是,∴函数在上是增函数 ……10分。注意到对于任意的正数、,即,同理. ………………………15分∴,,.于是,∴.而,∴. ……………………………………20分15.解:设这个数为,则其中(注:限定正的可减少讨论)。故,从而与则等于把拆开的因数1、2、4、17、34、68.这样就有六种情形。9、又由于,且与同奇偶性,故所以。则。
8、数.…………………………10分(2)将①两边配方,得④由③≡∴≡≡0(mod3)∴为正整数。④式成立.是完全平方数.……………………………………………………20分14【解】(Ⅰ)由书籍,根据韦达定理有,,,∴ ………………………………………5分(Ⅱ)已知函数,∴而且对,,于是,∴函数在上是增函数 ……10分。注意到对于任意的正数、,即,同理. ………………………15分∴,,.于是,∴.而,∴. ……………………………………20分15.解:设这个数为,则其中(注:限定正的可减少讨论)。故,从而与则等于把拆开的因数1、2、4、17、34、68.这样就有六种情形。
9、又由于,且与同奇偶性,故所以。则。
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