信道编码_第2章ppt课件.ppt

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1、第二章线性分组码主要讲解线性分组码的概念，码的一致校验矩阵和生成矩阵、汉明码、格雷码、用已知码构造新码的方法。第一章已叙述了分组码的某些重要概念，如分组码的表示、码率、距离、重量等。如果我们把每一码字看成是一个n维数组或n维线性空间中的一个矢量，则可以从线性空间的角度，比较深入地讨论线性分组码。一个［n，k］线性分组码，是把信息划成k个码元为一段(称为信息组)，通过编码器变成长为n个码元的一组，作为［n，k］线性分组码的一个码字。若每位码元的取值有q种(q为素数幂)，则共有qk个码字。n长的数组共有qn组，在二进制情况下，有2n个数组

2、。显然，qn个n维数组(n重)组成一个GF(q)上的n维线性空间。如果qk(或2k)个码字集合构成了一个k维线性子空间，则称它是一个［n，k］线性分组码。一、线性分组码的基本概念将k维k重信息空间的元素线性映射到n维n重矢量空间（接收矢量/收码）的k维n重子空间（码空间）1.码空间确定2.线性映射的规律m2m1m0C5C4C3C0C1C2例2.1n=7，k=3的［7，3］线性分组码的8个码字和信息组如表2-1所示。表2-1［7，3］码的码字表信息组码字000001010011100101110111000000000111

3、01010011101110101001110101001111010011110100由于线性分组码是分组码的一类，因此第一章中有关分组码的参数，如码率R=k／n、码字的距离与码的最小距离、码字的重量等定义，以及说明最小距离与纠错能力之间关系的定理1.3.1，对线性分组码均适用，这里不再赘述。显然，R和d是分组码的两个最重要的参数，因此今后我们用［n，k，d］(或［n，k］)表示线性分组码。而用(n，M，d)表示码字数目为M的任何码，此时码率R=n–1logqM。［n，k，d］分组码是一个群码，因此若码字C1∈［n，k，d］、

4、C2∈［n，k，d］，则由群的封闭性可知，码字C1与C2之和C1+C2∈［n，k，d］，即C1+C2也必是［n，k，d］分组码的一个码字。所以，两码字C1和C2之间的距离d(C1，C2)必等于第三个码字C1+C2的汉明重量。如例2.1中的两个码字：(1010011)，(1101001)，它们之间的距离是4，它就是(0111010)码字的重量，即d(C1，C2)=w(C1+C2)因此，一个［n，k，d］分组码的最小距离必等于码中非零码字的最小重量，由此可得如下定理。定理2.1.1［n，k，d］线性分组码的最小距离等于非零码字的最

5、小重量。定理2.1.2GF(2)上［n，k，d］线性分组码中，任何两个码字C1，C2之间有如下关系：w(C1+C2)=w(C1)+w(C2)-2w(C1·C2)或d(C1，C2)≤w(C1)+w(C2)式中，C1·C2是两个码字的内积。推论2.1.1GF(2)上线性分组码任3个码字C1，C2，C3之间的汉明距离，满足以下三角不等式d(C1，C2)+d(C2，C3)≥d(C1，C3)证明设码字Ca=C1+C2，Cb=C2+C3，可知：w(Ca+Cb)=w(C1+C2+C2+C3)=w(C1+C3)=d(C1，C3

6、)≤w(Ca)+w(Cb)=w(C1+C2)+w(C2+C3)。所以d(C1，C3)≤d(C1，C2)+d(C2，C3)定理2.1.3任何［n，k，d］线性分组码，码字的重量或全部为偶数，或者奇数重量的码字数等于偶数重量的码字数。二、码的一致校验矩阵与生成矩阵1、概述［n，k，d］分组码的编码问题就是在n维线性空间Vn中，如何找出满足一定要求的，有2k个矢量组成的k维线性子空间Vn，k。或者说，在满足给定条件(码的最小距离d或码率R)下，如何从已知的k个信息元求得r=n-k个校验元。m2m1m0C5C4C3C0C1C2[m2m1m

7、0]100111010110001011=[c5c4c3c2c1c0]mG=C100111010110001011张成码空间的三个基，本身也是码字。上例中的［7，3，4］码，若c6，c5，c4代表3个信息元，则c3，c2，c1，c0这4个校验元，可由以下线性方程组求得：1·c3=1·c6+0·c5+1·c41·c2=1·c6+1·c5+1·c41·c1=1·c6+1·c5+0·c41·c0=0·c6+1·c5+1·c42、码的一致校验矩阵c6+0+c4+c3+0+0+0=0c6+c5+c4+0+c2+0+0=0c6+c5+0

8、+0+0+c1+0=00+c5+c4+0+0+0+c0=0例2.2c6=1，c5=0，c4=1，求c3，c2，c1，c0。由上述线性方程组可知：c3=c6+c4=1+1=0c2=c6+c5+c4=1+0+1=0c1