配方法在解题中的应用.doc

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1、配方法在解题中的应用配方是数学中的一个重要方法，在解题中有广泛的应用．本文通过例题谈谈它的一些应用．一、应用于因式分解例1分解因式x4＋4．解配方，得原式=x4＋4x2＋4－4x2＝（x2＋2）2－（2x）2=（x2＋2x＋2）（x2－2x＋2）．例2分解因式a2－4ab＋3b2－2bc－c2．解原式=（a2－4ab＋4b2）－（b2+2bc＋c2）＝（a－2b）2－（b＋c）2＝（a－b＋c）（a－3b－c）．二、应用于解方程例3解方程3x2＋4y2－12x－8y＋16=0．解分别对x、y配方，得3（x2－4x

2、＋4）＋4（y2－2y＋1）=0，3（x－2）2＋4（y－1）2＝0．由非负数的性质，得例4解方程（x2＋2）（y2＋4）（z2＋8）=64xyz（x、y、z均是正实数）．解原方程变形，得x2y2z2+4x2z2+2y2z2+8z2+8x2y2+32x2+16y2+64－64xyz=0各自配方，得（xyz－8）2＋2（4x－yz）2＋4（2y－xz）2＋8（z－xy）2=0由非负数的性质，得解得运用配方法可为应用非负数的性质创造条件，解题中应注意掌握．三、应用于求二次函数的最值例5已知x是实数，求y＝x2－4x+

3、5的最小值解由配方，得y＝x2－4x＋4－4＋5=（x－2）2＋1∵x是实数，∴（x－2）2≥0，当x－2=0，即x=2时，y最小，y最小=1．例6已知二次函数y=x2－6x＋c的图象的顶点与坐标原点的距离等于5，求c的值．解因为y＝x2－6x＋c＝x2－6x＋9－9＋c=（x－3）2＋c－9，所以这个二次函数的顶点坐标为（3，c－9），它与坐标原点的距离是．由此解得c=5或c=13四、应用于求代数式的值例7已知求的值．解因为所以即x++1=，∴x+=－1，∵，∴故本题联合应用了倒数法和配方法使问题得解．倒数法是

4、一种解题技巧，解题时注意应用．例8如果求的值．解由已知条件，分别对a、b配方，得（a2－4a＋4）＋（b2－2b＋1）＝0，（a－2）2＋（b－1）2＝0．由非负数的性质，得a－2＝0，b－1＝0．∴a＝2，b＝1．∴=五、判定几何图形的形状例9已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0，判定△ABC是正三角形．证明由已知等式两边乘以2，得2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca=0，拆项、配方，得（a2－2ab＋b2）＋（b2－2bc＋c2）＋（c2－2ca＋a2）＝0，

5、（a－b）2＋（b－c）2+（c－a）2＝0．由实数的性质，得a－b=0，b－c=0，c－a=0，∴a＝b，b＝c，c＝a，a=b=c．故△ABC是等边三角形．