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1、2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线渐近线的条数()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设函数,其中为正整数,则()(A)(B)(C)(D)(3)如果函数在处连续,那么下列命题正确的是()(A)若极限存在,则在处可微(B)若极限存在,则在处可微(C)若在处可微,则极限存在(D)若在处可微,则极限存在(4)设则有()(A)(B)(C)(D)(5)设,,,,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为()(A)(B)
2、(C)(D)(6)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且.若P=（），，则()(A)(B)(C)(D)(7)设随机变量与相互独立，且分别服从参数为与参数为的指数分布，则()(A)(B)(C)(D)(8)将长度为的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为()(A)(B)(C)(D)二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)若函数满足方程及，则(10)(11)(12)设，则(13)设为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵的秩为(14)设,,是随机变量，A与C互不相容，三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位
3、置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明(16)求函数的极值(17)求幂级数的收敛域及和函数(18)已知曲线其中函数具有连续导数，且若曲线的切线与轴的交点到切点的距离恒为1，求函数的表达式，并求此曲线与轴与轴无边界的区域的面积。(19)已知是第一象限中从点沿圆周到点，再沿圆周到点的曲线段，计算曲线积分(20)(本题满分分)设（I）计算行列式(II)当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解。(21)已知，二次型的秩为2（1）求实数的值；（2）求正交变换将化为标准型.（22）设二维离散型随机变量、的概率分布为0120010020（Ⅰ）求；（Ⅱ）求.
4、(23)设随机变量与相互独立且分别服从正态分布与，其中是未知参数且。设(1)求的概率密度（2）设为来自总体的简单随机样本，求的最大似然估计量（3）证明为的无偏估计量数一参考答案一、选择题12345678CCBDCBAD二、填空题9、；10、；11、；12、；13、2；14、三、解答题(15)证明：令，是偶函数所以即证得：(16)解：得驻点根据判断极值的第二充分条件，把代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以为极小值点，极小值为把代入二阶偏导数B=0，A<0，C<0，所以为极大值点，极大值为(17)解：（Ⅰ）收敛域令，得，当时，技术发散。所以，收敛域为（Ⅱ）设令，因
5、为所以因为所以所以即，故当时，当时，所以，(18)解：曲线在任一处的切线斜率为，过该点处的切线为。令得。由于曲线与轴和轴的交点到切点的距离恒为1.故有，又因为所以，两边同时取不定积分可得，又由于，所以C=0故函数此曲线与轴和轴所围成的无边界的区域的面积为：(19)解：补充曲线沿轴由点到点,D为曲线和围城的区域。由格林公式可得原式==(20)解：（I）(II)对方程组的增广矩阵初等行变换：可知，要使方程组有无穷多解，则有且，可知此时，方程组的增广矩阵变为，进一步化为最简形得可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为(21)解：（1）由二次型的秩为2，知，故
6、对矩阵A初等变换得因，所以（2）令所以B的特征值为对于，解得对应的特征向量为对于，解得对应的特征向量为对于，解得对应的特征向量为将单位化可得正交矩阵，则因此，作正交变换，二次型的标准形为（22）解：X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12（Ⅰ）（Ⅱ），其中，所以，(23)解：（1）因为，，且与相互独立，故所以Z的概率密度为（2）最大似然函数为两边取对数，得两边求导得令，得所以的最大似然估计量（3）证明：所以为的无偏估计量2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列
7、每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线的渐近线条数()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设函数其中为正整数,则()(A)(B)(C)(3)设，则数列有界是数列收敛的()(A)充分必要条件(B)充分非必要条件(C)必要非充分条件(D)非充分也非必要(4)设则有()(A)(B)(C)(D)(5)设函数为可微函数，且对任意的都有则使不等式成立的一个充分条件是()(A)(B)(C)(D)(6)设区域由曲线围成，则()(A)(B)2(C)-2(D)-(7)设，,,,，，，均为任意常数,则下列数列组相关的是(
