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《信息论与编码习题解答(待校200812).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、（有问题请更正并通知xiezg@ntu.edu.cn）第二章信息的度量1．一珍珠养殖场收获240颗外观及重量完全相同的特大珍珠，但不幸被人用外观相同但重量仅有微小差异的假珠换掉1颗。（1）一人随手取出3颗，经测量恰好找出了假珠，问这一事件大约给出了多少比特的信息量；（2）不巧假珠又滑落进去，那人找了许久却未找到，但另一人说他用天平最多6次能找出，结果确是如此，问后一事件给出多少信息量；（3）对上述结果作出解释。解：（1）从240颗珠子中取3颗，含1颗假珠的概率为（2）240颗中含1颗假珠，用天平等分法最多6次即可找到假珠，是必然事件，因此信息量为0。（3
2、）按照shannon对信息量的定义，只有事件含有不确知成分，才有信息量，且不确知成分越大，信息量越大，必然事件则没有信息量。但从广义信息论来说，如果那人不知用天平二分法找假珠，另一人告之此事，使他由不知到知，也应该含有一定的信息量。2．每帧电视图像可以认为是由3´105个象素组成，所有象素均独立变化，且每一象素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平等概率出现。问每帧图像含有多少信息量？如果一个广播员在约10000个汉字的字汇中选取1000个字来口述此电视图像，试问广播员描述此图像所广播的信息量是多少（假设汉字字汇是等概率分布，且彼此独立）？若要恰当地描
3、述此图像，广播员在口述中至少需用多少汉字？解：设电视图像每个像素取128个不同的亮度电平，并设电平等概率出现，则每个像素亮度含有的信息量为比特/像素一帧中像素均是独立变化的，则每帧图像信源就是离散亮度信源的无记忆N次扩展信源。得每帧会图像含有的信息量为比特/每帧广播口述时，广播员是从10000个汉字字汇中选取的，假设汉字字汇是等概率分布的，则汉字字汇中每个汉字含有的信息量比特/字广播员口述电视图像是从此汉字字汇信源中独立地选取1000个字来描述的。所以，广播员描述此帧图像所广播的信息量为比特/千字若广播员仍从此汉字字汇信源Y中独立地选取汉字来描述电视图像
4、，每次口述一个汉字含有信息量是H(Y)，每帧电视图像含有的信息量是，则广播员口述此图像至少需要的汉字数等于字3．已知X：1,0P(X)：p,1–p(1)求证：H(X)=H(p)(2)求H(p)并作其曲线，解释其含义。（1）证明（2）H(p)10.510p该H(p)曲线说明，当0与1等概出现时，即p=0.5时，熵最大。当p由0.5分别趋向于0和1时，熵逐渐减小至0。4．证明H(X3
5、X1X2)£H(X2
6、X1)，并说明等式成立的条件。证明：设离散平稳信源输出的随机符号序列为…X1,X2,X3,…。又设,,,而且都取自于同一符号集，并满足有在区域[0，1]内
7、设f(x)=－xlogx,f(x)在[0，1]内是型凸函数，所以满足詹森不等式其中现今,设其概率空间为，并满足所以根据詹森不等式得所以上式对所有的取值都成立，所以因为，所以上式两边相乘，等号不变。有上式对所有都成立，所以对所有求和下式也成立因为H(X3
8、X1X2)£H(X3
9、X2)所以是平稳信源H(X3
10、X2)=H(X2
11、X1)得H(X3
12、X1X2)£H(X2
13、X1)只有当(对所有)时等式成立。5．设有一概率空间，其概率分布为{p1,p2,…,pq}，且p1>p2。若取，，其中0<2e£p1–p2，而其它概率值不变。证明由此得到的新的概率空间的熵是增加的
14、，并用熵的物理意义加以解释。证明：令得因为f(x)=－xlogx是型函数，根据型凸函数的定义有所以即同理得以上两不等式两边相加，不等号不变。所以得6．某办公室和其上级机关的自动传真机均兼有电话功能。根据多年来对双方相互通信次数的统计，该办公室给上级机关发传真和打电话占的比例约为3:7，但发传真时约有5%的次数对方按电话接续而振铃，拨电话时约有1%的次数对方按传真接续而不振铃。求：（1）上级机关值班员听到电话振铃而对此次通信的疑义度；（2）接续信道的噪声熵。解：设发传真和打电话分别为事件X1与X2,对方按传真和按电话接续分别为事件Y1和Y2,则P(X1)=
15、30%,P(X2)=70%P(Y1
16、X1)=95%,P(Y2
17、X1)=5%,P(Y1
18、X2)=1%,P(Y2
19、X2)=99%P(X1Y1)=0.285,P(X1Y2)=0.015P(X2Y1)=0.007,P(X2Y2)=0.693P(Y1)=P(X1Y1)+P(X2Y1)=0.292P(Y2)=1－P(Y1)=0.708H(X)=－P(X1)lbP(X1)－P(X2)lbP(X2)=0.8814bit/符号H(Y)=－P(Y1)lbP(Y1)－P(Y2)lbP(Y2)=0.8713bit/符号H(XY)==1.0239bit/两个信符I(X;Y)=H(
20、X)+H(Y)－H(XY)=0.7288bit/信符（1）听到电话振铃的疑义度H
