数值分析 第2章 插值法(一)ppt课件.ppt

《数值分析 第2章 插值法(一)ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第2章插值法2.1引言插值问题：解决函数不便计算问题。两种情形：①函数没有解析表达式，需确定自变量对应的函数值；例如：天气温度与市场菜价的关系。②函数有解析表达式，但不便计算。例如：误差函数积分、炮弹发射问题等。数学描述：函数定义在区间，已知找出函数，使得——插值法。2.1.1插值问题的提出2021年9月7日1定义设函数在区间上有定义，且已知在点上的函数值若存在一简单函数，使得下式成立就称为的插值函数，点称为插值节点，包含插值节点的区间称为插值区间，求插值函数的方法称为插值法，将已知节点上的函数值称为插值条件，2021年9月7日2（为实数）如果是

2、次数不超过的代数多项式：就称为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。几何意义：找出函数近似表示并满足：在插值节点上相等2021年9月7日3定理1满足插值条件的插值多项式存在且唯一。设为次插值多项式，——次数不超过的多项式集合，存在唯一性：在中有且只有一个满足即：多项式插值函数只有一种形式。2.1.2多项式插值2021年9月7日4证明：插值多项式中的系数具有唯一性。将插值条件代入多项式：这里：作为常量，作为变量。2021年9月7日5由克莱姆法则：系数行列式不为零，则有唯一解。（范德蒙德行列式）因此，线性方程组有唯一解。即：插值多项式存在且唯一。2

3、021年9月7日62.2.1线性插值与抛物插值1.线性插值，插值条件：找出：并且：，几何意义：如图所示。2.2拉格朗日插值2021年9月7日7直线方程：（点斜式方程）（两点式方程）式中，插值基函数：2021年9月7日8插值基函数特点：即，本节点的函数值不为零，为一个单位。因此：——二点一次插值2021年9月7日9注意：①基函数为函数；②分子是自变量与其他节点之差；分母是本节点与其他节点之差；③本节点时，基函数取值为；其他节点时，基函数取值为。2021年9月7日102.抛物插值，插值条件：同线性插值一样，找出基函数：，，并且：2021年9月7日11

4、由基函数特点求解：，，，，，，基函数曲线：是二次函数，可满足上述条件。2021年9月7日12注意：是二次函数①因，（式中，为常系数）②因2021年9月7日13因此：(三点二次插值)注意：①可以验证，；②是二次函数，称为二次插值函数。2021年9月7日142.2.2拉格朗日插值多项式1.已知求次插值多项式，满足：由前面讨论：2021年9月7日15定义1若次多项式，在个节点上满足条件：则称这个多项式为节点上的——次插值基函数。2021年9月7日16由上述线性插值和抛物插值，同样：共有个基函数；因此：——Lagrange插值多项式注意：是次函数；②满足

5、：。注意：①②基函数只与节点有关，与函数值无关。2021年9月7日172.另一种形式引入：求导：Lagrange插值：2021年9月7日182.2.3插值余项与误差估计,——插值余项定理2设在上连续，在内存在，节点，插值多项式满足：，则，对任何，有：这里且依赖于。2021年9月7日191.即：是的个零点则：式中，——待定系数注：不一定是次多项式2.视：的一个固定点作：即：由偏差和插值余项构成一个函数证明：2021年9月7日20当：①节点处（共个），（第一、第二项全为零）②固定点（共个）（第一、第二项全为误差余项）故：共有个零点2021年9月7日2

6、13.由Rolle（罗尔）定理：在的两个零点间至少有一个零点。在内有个零点，在内有个零点，在内有个零点。即：（是次多项式：）则：，，与有关）（2021年9月7日22注意：①未知，无法计算余项；②若则例如：时，，时，2021年9月7日23讨论：①如果，有②特别当时——基函数性质（适用于任何基函数）2021年9月7日24P28例题1证明，其中是关于点的插值基函数。证明：利用插值基函数性质2021年9月7日25P19例2已知，，，用线性插值及抛物插值计算的值，并估计截断误差。解：（1）线性插值：，，2021年9月7日26，(增函数）2021年9月7日2

7、7（2）抛物插值：2021年9月7日28，2021年9月7日292.3均差与牛顿插值多项式Lagrange插值缺点：增加插值节点，重新计算基函数。2.3.1插值多项式的逐次生成考虑两点一次插值，其插值条件为：线性插值多项式（点斜式）为：可看成是零次插值的修正：其中是函数的差商：2021年9月7日30再考虑三点二次插值，其插值条件为：同样，对一次插值进行修正得：由，得：显然，上式满足条件与，系数是函数的“差商的差商”。2021年9月7日31一般情形，点次插值，其插值条件为：插值多项式为：其中为待定系数，由插值条件确定。插值多项式是由下列基本函数逐次

8、递推得到的：发现：计算系数时，用到函数差与自变量差之商——差商（均差）。2021年9月7日322.3.2均差及其性质定义2函数关于点的一