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1、第三章复变函数的积分准备工作－实积分一元函数y=f(x)的积分：二元函数z=f(x,y)的积分：第二类曲线积分(按坐标)计算曲线积分与路径无关的条件返回一、复积分的定义二、柯西-古萨基本定理五、柯西积分公式四、原函数与不定积分三、复合闭路定理六、解析函数的高阶导数七、解析函数与调和函数的关系一、积分的定义1.有向曲线:设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,§1复变函数积分的概念闭曲线正向的定义:简
2、单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向.曲线方向的说明:一般:曲线C的正方向总是指从起点到终点的方向.那么终点到起点的方向就是曲线C的负向,记为C-对分段光滑的闭曲线而言,逆时针方向为正方向,顺时针方向为负方向特别申明今后所说的曲线总是指光滑或逐段光滑曲线,特别说明的例外.2.复积分的定义:(关于定义的说明:二、积分存在的条件及其计算法1.存在的条件证根据曲线积分的存在定理,当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,在形式上可以看成是公式2.积分的计算法在今后讨论的积分中,总假定被积
3、函数是连续的,曲线C是按段光滑的.例1解(1)积分路径的参数方程为y=x返回(2)积分路径的参数方程为y=xy=x(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为此例说明积分 与路线有关．注：返回例2解(1)积分路径的参数方程为y=x返回(2)积分路径的参数方程为(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为y=x1到1+i直线段的参数方程为这两个积分都与路线C无关所以不论C如何从原点到达点1+i,都有其积分值为i.y=x例3解C的参数方程为重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.三、积分的性质复积分与实变函数
4、的定积分有类似的性质.估值不等式性质(4)的证明两端取极限得[证毕]例4解根据估值不等式知小结与思考本课学习了复积分的定义、存在条件以及计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质.本课中重点掌握复积分计算的一般方法.思考题即为一元实函数的定积分.思考题答案则函数解析的充要条件:换个写法:格林公式D是以C为边界的单连通区域,在D及C上连续且具有对x和y的连续偏导数,则有§3.2柯西－古萨基本定理一、问题的提出二、柯西积分定理三、柯西－古萨定理一、问题的提出观察上节例2,此时积分与路线无关.观察上节例1,柯西－黎曼方程,故而在复平面内处处不
5、解析.由于不满足由以上讨论可知,积分是否与路线有关,可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.受此启发,柯西(Cauchy)于1825年给出如下定理:观察上节例３,说明积分与路线有关．1二、基本定理柯西-古萨基本定理定理中的C可以不是简单曲线.1851年，黎曼在附加假设“在D内连续”的条件下，得到一个该定理的简单证明．黎曼证明且满足C—R方程：由格林公式定理又称为柯西－古萨基本定理.内连续”的假设，发表上述定理新的证明方法．因此，1900年,法国数学家古萨（Goursat）免去“在D格林公式:解析函数在单连通域内的积分与路线无关．由定理得即：如图，则关于定理的说
6、明:(1)如果曲线C是区域Ｄ的边界,(2)如果曲线C是区域Ｄ的边界,定理仍成立.例1解根据柯西－古萨定理,有说明：本题若用复积分的计算公式，将很复杂．例2解根据柯西－古萨定理得都在曲线作业：教材P991,2一复习积分的定义和计算计算沿光滑曲线的复变函数的方法有:定义:1.化为两个实二元函数的线积分来计算:2.写出C的参数方程:然后求二、积分的性质估值不等式柯西-古萨基本定理定理中的C可以不是简单曲线.重要公式:§3.3基本定理的推广 －复合闭路定理一、闭路变形原理一、复合闭路定理1.闭路变形原理解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.说
7、明:在变形过程中曲线不经过函数f(z)的不解析的点.即柯西-古萨基本定理对于以两条闭曲线（复合闭路）为边界的多连通区域仍成立．2.复合闭路定理那么这个定理是计算闭线内部有多个奇点的积分的有效工具!!!例3解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,例4解由闭路变形原理,此结论非常重要,用起来很方便,因为C不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线C内即可.重要积分公式解（方法一）依题意知,例5由上例的结论，（方法二）根据复合闭路定理,分割包围!柯西-古萨定理重要公式柯西-古萨定理重要公式§3.4原函数与不定积分一、变上限的积分二、原函数的定义三、复积
8、分的Newton-Lei
