第二讲 数学建模竞赛中的部分ppt课件.ppt

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1、第二讲数学建模竞赛中的部分优化问题2.1一个飞行管理问题2.1.1问题描述1995年全国大学生数学建模竞赛中的A题（“一个飞行管理问题”）。在约10000米高空的某边长为160km的正方形区域内，经常有若干架飞机做水平飞行，区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理，当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。现假定条件如下：不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km；飞机飞行方向角调整幅度不应超过30°；所有飞机飞行速度均为800km／h；进入该区域的飞

2、机在到达该区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60km以上；最多需考虑6架飞机；不必考虑飞机离开此区域后的情况。请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01°），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。该区域四个定点的坐标为（0，0）、（160，0）、（160，160）、（0，160）。记录数据见表2－1。表2－1飞机位置和方向角记录数据飞机编号横坐标纵坐标方向角（°）飞机编号横坐标x纵坐标y方向角／（°）飞机编号横坐标纵坐标方向角（°）飞机编号横坐标x纵坐标y方向角／（°）1150

3、1402434145501592858523651301502303155155220．5新进入0052说明：方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。试根据实际应用背景对你的模型进行评价和推广2．1．2模型一及求解模型建立这个问题显然是一个优化问题。设第i架飞机在调整时的方向角为（题目中已给出），调整后的方向为，题目中就是要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小，因此有化的目的函数可以是：（1）为了建立这个问题的优化模型，只需要明确约束条件就可以了。一个简单的约束是飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30°，即（2）题目中要求进入该区域的飞机在到达该区

4、域边缘时，与区域内的飞机的距离应在60km以上。这个条件是个初始条件，很容易验证目前所给的数据是满足的，因此本模型中可以不予考虑。剩下的关键是要满足题目中描述的任意两架位于该区域内的飞机的距离应该大于8km。但这个问题的难点在于飞机是动态的，这个约束不好直接描述，为此我们首先需要描述每架飞机的飞行轨迹。记飞机飞行速率为（800km／h），以当前时刻为0时刻。设第架飞机在调整时的位置坐标为（已知条件），时刻的位置坐标为，则（3）如果要严格表示两架位于该区域内的飞机的距离应大于8km，则需要考虑每架飞机在区域内的飞行时间的长度。记Ti为第架

5、飞机飞出区域的时间，即（4）记时刻第架飞机与第架飞机的距离为，并记，这时在区域内飞机不相撞的约束条件就变成了（5）其中（6）此外，经过计算可以得到（7）（8）（9）（10）所以是一个关于t的二次函数，表示的是一条开口向上的抛物线。当即（记为）时，函数取最小值。注意到（初始时刻不相撞），如果（即）则此时约束条件（5）一定成立，所以如果且，只要在右端点的函数值非负即可，即（11）如果且，只需要求最小值即可，即（12）实际上，约束（11）表示的是在右端点的函数值非负，这个约束在（12）的条件下也是自然成立的，所以可以是对约束（11）不再附加且

6、的条件。于是我们的模型就是（13）（14）（15）（16）模型求解上面这是一个非线性规划模型，虽然是严格满足题目要求的模型，但得到的模型逻辑关系比较复杂，约束（16）是在一定条件下才成立的约束，而且其中的计算式（4）也含有相当复杂的关系式，使用LINGO软件不太容易将模型很方便的输入，因为逻辑处理不是LINGO的优势所在。即使想办法把这个模型输入到LINGO，也不一定能求出好的解（笔者尝试过，但是LINGO运行时有时会出现系统内部错误，可能是系统有问题，无法继续求解）。而且，在实时飞行调度中显然需要快速求解，所以下面我们想办法简化模型。

7、这个模型麻烦之处就在于，要求严格表示两架飞机的飞行距离应大于8km，所以需要考虑每架飞机在区域内的飞行时间的长度，比较繁琐。注意到区域对角线的长度只有，任何一架飞机在所考虑的区域内停留的时间不会超过。因此这里我们简化一下问题；不再单独考虑每架飞机在区域内停留的时间，而是以最大时间（这是已经是一个常数）代替之，此时所有，这实际上强化了问题的要求，即考虑了有些飞机可能已经飞出区域，但仍不允许两架飞机的距离小于8km。程序：MODEL:TITLE飞行管理问题的非线性规划模型;SETS:Plane/1..6/:x0,y0,cita0,cita1

8、,d_cita;!cita0表示初始角度，cita1为调整后的角度,d_cita为调整的角度;link(plane,plane)

9、&1#LT#&2:b,c;ENDSETSDATA:1501402438585