线性代数A-向量组的线性相关性- 答案.doc

《线性代数A-向量组的线性相关性- 答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章向量组的线性相关性作业1一、判断题1.如果当时，，则线性无关.（×）2.若只有当全为0时，等式才成立，则线性无关，线性无关.（×）二、填空题1.设其中则=.2.n维零向量一定线性相关.3.设，若线性相关，则=.4.已知向量组线性相关，则=.5.设向量组线性无关，则必满足关系式.6.设则向量组的线性相关性是线性相关.三、选择题1．向量组和向量组等价的定义是向量组（A）.A.和可互相线性表示B.和中有一组可由另一组线性表示C.和中所含向量的个数相等D.和的秩相等2.向量组线性无关的充要条件是（D）.A.均不为零向量B.中有一部分向量线性无关C.中任意两个向量的分量不成比例D.中每

2、个向量都不能由其余向量线性表示3．设向量，则向量组1,2,3线性无关的充分必要条件是（D）9A.全不为0B.不全为0C.不全相等D.互不相等4.在下列向量组中，D是线性无关的.A．,,,B．,,C．,D．,,四、计算与证明题1.给定向量组试判断是否为的线性组合；若是，则求出组合系数.解：设，若此方程组有解，则可写成的线性组合，否则，不可以.即从而.2.讨论下列向量组的线性相关性.（1）；9（2）解：（1）因为，所以，线性相关.（2）所以，线性相关.3.证明：若向量组线性无关，则任一向量必可由线性表示.证：设有数，使，则9（1）因线性无关，所以，由cramer法则（1）有唯一解.则必

3、可由线性表示.94.向量组线性无关，证明：向量组，，，也线性无关.证：设有一组数使于是有.又因为线性无关，所以即，方程组只有零解..从而，，，线性无关.5.已知向量组线性无关，且,,，证明：向量组线性相关.9证：设有一组数使于是，又因为向量组线性无关，所以有由Cramer法则知上述方程组有非零解，因此向量组线性相关.6.设向量组线性无关,向量组,线性相关,证明可由线性表示且表法唯一.证：因为,线性相关，所以存在不全为零的一组数，使得这里，否则存在不全为零的数，使得，这与线性无关相矛盾.于是即可由线性表示.下证唯一性.设（1）-（2）有因线性无关，故，所以唯一性得证.作业29一、判断

4、题1.若，则中任意5个向量都线性无关.（×）2．已知，，则能由,线性表示.（√）3.已知，，则不能由,,线性表示.（√）4.两个向量组等价当且仅当两个向量组的秩相等.（×）5.向量组线性无关当且仅当.（√）二、填空题1.设向量组可由向量组线性表出，且，则向量组的线性相关性是线性相关.2.设m×n矩阵A的m个行向量线性无关，则矩阵的秩为m.3.向量组的秩为1.4.向量组，的秩为，最大无关组为.三、选择题1.若向量组可由向量组线性表示，则必有（　A　）.A．秩≤秩B．秩>秩C．r≤sD．r>s2.若向量组线性无关，线性相关，则（C）.A.必可由线性表示B.必可由线性表示C.必可由线性表

5、示D.必不可由线性表示3.设向量组（I）可由向量组（II）线性表示，则（D）.A.当时，向量组（II）必线性相关B.当时，向量组（I）必线性相关C.当时，向量组（II）必线性相关D.当时，向量组（I）必线性相关4.已知，其中为非零向量，则向量组的秩(B).9A.>3B.<3C.=3D.=05.若向量组的秩为，则（D）.A．必定B．向量组中任意小于个向量的部分组必线性无关C．向量组中任意个向量必线性无关D．向量组中任意个向量必线性相关6.设向量组有两个极大无关组(I)：；(II)：，则有（C）成立A.r与s不一定相等B.r+s=mC.(I)中向量可由(II)表示，(II)中向量可由(

6、I)表示，且r=sD.r+s

7、都能由它们线性表示.证：必要性.设线性无关，任取为一维向量，则线性相关（n+1个n维向量线性相关），所以可以由线性表示.充分性.设任意n维向量都可由线性表示，则可由线性表示.反之，可由线性表示，从而与等价.于是与秩相等，即线性无关.补充题1.设A是n阶方阵，，则下列结论中错误的是（　C　）.A．秩(A)