初中数学竞赛——正方形和梯形.docx

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1、第3讲正方形和梯形知识总结归纳一.正方形的定义：定义：邻边相等的矩形叫正方形，或者有一个角为直角的菱形叫正方形．正方形既是矩形又是菱形．二.正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．（1）边：四条边都相等，邻边垂直，对边平行．（2）角：四个角都是直角．（3）对角线：对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．（4）对称性：正方形是轴对称图形，有条对称轴．（5）特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的的夹角是；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．三.正方形的判定：（1）有一组邻边相

2、等的矩形是正方形．（2）有一个角是直角的菱形是正方形．四.梯形的相关定义：（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．（2）梯形的腰：梯形中不平行的两边叫梯形的腰．（3）梯形的高：梯形两底间的距离角梯形的高．（4）等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形,（5）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫等腰梯形．五.等腰梯形的性质：（1）等腰梯形是轴对称图形，上下底中点所在的直线是对称轴．（2）等腰梯形同一底边上的两个角相等．（3）等腰梯形的两条对角线相等．六.等腰梯形的判定：（1）同一底边上两个角相等的梯形是等腰梯形．（2）对角线相等的梯形是等腰梯形．七.梯

3、形的中位线：（1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫做三角形的中位线．（2）梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于梯形的上下底，且等于上下底之和的一半．典型例题一.正方形【例1】如图，正方形ABCD中，是正三角形，求∠EAD的度数．FDCBAPE【例2】如图，在正方形中，为对角线上的一点，于，于，求证：．【例3】如图，正方形ABCD中，E是AB上一点，BF⊥CE于G交AD于F，求证：CE=BF．【例4】如图，正方形中，是的中点，与相交于，求证：．GDCBAFE【例1】如图，在正方形中，为上一点，的延长线交的延长线于，交于，为的中点，求证：。FGHEDCBA【例2】如图，在

4、正方形中，点在上，，，点在上，求与和的最小值．DCBAPE一.梯形【例3】已知，等腰梯形中，，平分．（1）求证：．（2）若，，求梯形的周长．CBDA【例4】如图，已知直角梯形，，腰的长为，，则该梯形另一腰的长是多少？DCBA【例1】等腰梯形的一角为，上底为，下底为，则它的腰长是多少？【例2】如图，在梯形中，，对角线、交于，，求证：．DCAOB【例3】如图，在等腰梯形中，已知，对角线与互相垂直，且，，求等腰梯形的面积．ADBCO【例4】如图，在梯形中，，，，，延长至，使，作交的延长线于点，求的长度．AEDCBFDCBA【例1】如图，梯形中，，求对角线之长。【例2】如图

5、，在直角梯形中，，的中垂线交边于，交延长线于，求证：。CNBAMDP一.梯形的中位线【例3】如图，等腰梯形中，对角线，垂足为，于，是梯形的中位线，求证：．EFNMDCBA【例4】如图，梯形的中位线与对角线、分别交于点、，设梯形的周长为，四边形的周长为．若，试求的值．AQPNMDCBlFBADEC【例1】如图，外一条直线，、、分别是各边中点、、、都垂直于、、、，求证：．【例2】如图，直角梯形中，，，，是的中点．若，，求的面积．BCEDADCBA【例3】如图，梯形中，，对角线，且，求梯形的中位线的长度。一.综合提高【例1】如图，等腰直角中，，是的中点，于交于，求证：．F

6、DCBAE【例2】如图所示，等腰梯形中，，对角线、相交于，，点、、分别是、、的中点．（1）求证：是等边三角形；（2）若，，求的面积．AQPODCBS【例3】如图，是正方形边边上任意一点，过作的垂线交正方形的外角的平分线于，求证：．NFBECAD【例1】是正方形的边的中点，作，在上．求证：．PQDCBA【例2】如图，在梯形中，，两条对角线相交于，，且，，求证：．EDCBA【例3】如图所示，是正方形，为上的一点，四边形恰好是一个菱形，则求．FCEDBAMN【例1】如图，是的中线，分别以、为边向外作正方形、．求证：．【例2】如图，直角梯形中，，．为边上一点，且．求证：．M

7、DCBAFECBA【例1】四边形是正方形，四边形是菱形，、、在一直线上．求证：、三等分．【例2】如图，在梯形中，，．求证：．DBCAMCBDA【例3】如图，梯形中，，，为上一点，且，，求．【例1】是正方形的边的中点，点分对角线的比为，证明：．LKDCBA【例2】如图，在正方形中，、分别是、的中点，求证：．【例3】如图，直角梯形中，，，，是上一点，，，求．EDCBAFEDCBA【例1】正方形中，为的中点，为上的点，且．求证：．【例2】正方形对角线交于，的平分线交于，交于，求证：．FGDCBAOMDCBA【例3】如图，在直角梯形中，，．为边上一点，且．求证：．【例1