旋转题型训练.docx

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1、旋转题型训练基本模型构建常见模型思考上图中，△AE'B旋转到AED的位置，可得△AE'E为等腰三角形。如果四边形ABCD是矩形或正方形，则△AE'E为等腰直角三角形上图中，△ABC旋转到△ADE的位置，可以得到∠EAC=∠DAB，如果∠B=60°，所以△ADB为等边三角形²探究点一：以三角形为基础的图形的旋转变换例1：如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系：；（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），①（1）中的结论是否成立

2、？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；②当AC=12ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，∴AE﹣AB=AD﹣AC，∴BE=CD；（2）①成立，理由如下：∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，在△BAE与△CAD中，∵AB=AC，∠BAE=∠

3、CAD，AE=AD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD；②存在，α=45°．∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC=12ED，∴∠CAD=45°，∴角α的度数是45°．例2：如图1，两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．⑴操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．⑵猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，请

4、猜想（1）中S1与S2的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．⑶拓展探究已知∠ABC=60°，BD平分∠ABC，BD=CD，BE=6，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请求相应的BF的长．【答案】（1）①如图2中，由旋转可知：CA=CD，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠CAD=60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠DCA=60°，∵∠ECD=90°，∠DEC=30°，∴∠CDE=60°，∴∠EDC=∠DCA，∴DE∥AC，②∵AB=2AC，AD=AC，∴AD=BD，∴S△BDC=S△ADC，

5、∵DE∥AC，∴S△ADC=S△ACE，∴S1=S2．故答案为：DE∥AC，S1=S2．（2）如图3中，分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，在△ACN和△DCM中，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴S△BDC=S△AEC．（3）如图，过点D作DF∥BE，DE∥AB，DF∥BE∴四边形BEDF是平行四边形∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°，DE∥AB，∴∠ABD=∠DBE=∠BDE

6、=30°，∴ED=EB∴平行四边形BEDF是菱形所以BE=DF，且BE、DF上的高相等，此时=S△BDE；过点D作DF′⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F′FD=∠ABC=60°，∵BF=DF，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F′DB=90°，∴∠FDF′=60°，∴△DFF′是等边三角形，∴DF=DF′，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF=180°-∠BCD=180°-30°=150°，∠CDF′=360°-150°-60°=150°，∴∠CDF∠CDF′，∵在△CDF和△CDF′

7、中，∴△CDF≌△CDF′（SAS），∵S△DCF=S△BDE，∴点F′也是所求的点，∵BE=6，∴BF=BE=DF=FF′=6，∴BF′=12，综上，BF的长为6或12．变式1：如图1，一副直角三角板和，，将和放置如图2的位置，点、、、在同一直线上。（1）如图3，固定不动，绕点逆时针旋转时，判断与的位置关系，并说明理由。（2）在图2的位置上，绕点逆时针旋转，在旋转过程中，两个三角形的边是否存在垂直关系？若存在直接写出旋转的角度，并写出哪两边垂直，若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）.理由如下：∵，，∴，∴.（2）如图①，当α=45°时，∠ACB+∠FDC=