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1、无序散乱点云的表面重建摘要：我们描述并且说明一个算法，它需要输入一组无序的三维点云数据，这组点运数据在这个未知的流行M上或者附近，输出一个简单的近似于M的曲面。无论是存在边界的拓扑结构，还是M的几何形状都被认为是5提前已知的，所有这些信息都是从数据中自动推断出来的。这个问题自然出现在各种实际情况中，如从多个视角深度扫描一个对象，用二维切片恢复生物的形状，交互式曲面绘制。附加关键：几何建模，曲面拟合，三维形状恢复，深度数据分析。1简介一般来说,我们感兴趣的问题可以表示如下:基于未知的表面的部分信息，尽可能构
2、造表面的完整表示。这类重建问题发生在不同的科学和工程应用领域中,包括：来自深度数据的曲面:由激光深度扫描系统采集的数据通常是从传感器到被扫描对象的距离矩形网格。如果传感器和目标对象是固定的,只要目标对象是“可视”的，那么可以全数字化采集。更复杂的系统,比如那些由控件实验室生产的产品,有能力通过旋转传感器或扫描对象来实现数字化圆柱形物体。然而,拓扑结构更复杂对象的扫描,包括那些简单的有把手的咖啡杯(1属表面),或者如图1a所示的物体(3属表面),不能通过这两种方法完成。为了适当的扫描这些对象,必须使用多个视
3、图点进行扫描。合并来自多个视图点扫描生成的数据点重建一个多面体并非是一项简单的任务。从轮廓的表面:在许多医学研究中很常见的用切片机将生物标本切成薄层。将感兴趣的结构的轮廓数字化。问题是用这些二维轮廓重建三维结构。虽然这个问题已经受到了大量关注,但是当前方法仍然存在着严重的局限性。也许其中最重要的是自动处理分支结构的困难。交互式表面绘制:许多研究人员,包括施耐德和埃森曼,研究二维曲线的产物，通过跟踪笔尖或鼠标的路径作为用户绘制所需的形状。Sachs等人描述一个系统,称为3-Draw,这个系统允许创建三维自由
4、曲线，通过记录笔尖的运动来模拟传感器。这个可以扩展到自由曲面的设计通过忽略这些被记录位置的顺序,允许用户在曲面上任意反复的移动笔尖。问题是重建的曲面要符合无序点的集合。重建算法涉及的这些具有代表性的问题被精心的制作（具体情况具体分析），利用数据中的局部结构。例如,算法解决来自轮廓的曲面的问题大量利用了数据被组织成轮廓的事实(例如封闭多边形),并且这些轮廓位于平行平面上。同样的,专门的算法对于重建来自多个角度深度数据的曲面可能利用每个视角中的数据点的邻接关系。相比之下,我们的方法是构建统一的普遍问题,它不假
5、设在数据点上有任何结构。这种方法具有理论和实践价值。在理论方面,从普遍问题中抽象出来往往揭示了真正问题的关键方面。在实践方面,这个算法可以解决普遍问题可以成为解决特殊问题的实例。1.1术语表面是指“紧凑,连接,可定向的二维流形,可能有边界,被嵌入到三维中”。一个没有边界的曲面被叫做闭合曲面。如果我们想要强调一个表面具有非空的边界,我们将称之为有边的曲面。一个有多个用三角面的分段线性表面将称为简单曲面。我们使用
6、
7、x
8、
9、表示向量x的欧式距离,并且我们使用d(X，Y)表示点集X和Y之间的豪斯多夫距离(豪斯多夫
10、距离仅仅是点集X和Y的两个最接近的点之间的距离)。从点集X={x1,x2,x3,……xn}中抽取在或者临近未知曲面M的点。在大多数采样过程中捕获误差,我们假设点集X中的每个点xi都是xi=yi+ei的形式,yi是未知曲面M上的点，并且ei是一个三维的误差向量。我们称这样的样本为X，ξ为噪声，如果对于全部的i,
11、
12、ei
13、
14、<ξ。ξ的值可以在大多数应用程序中被估计(例如激光扫描仪的精度)。M矩阵的特征与ξ相比之下是很小的，不容易恢复。在发生抽样不足的区域恢复M的特征也是不可能的。特别地,如果M是一个有边界曲面
15、,如一个圆盘删除的球体,是不可能区分是曲面本身的孔洞还是抽样产生的孔洞。为了捕捉采样密度的直觉概念,我们需要另一个定义:令Y={y1，y2，y3，......yn}∈M是一个(没有噪声)表面为M样品。样品Y据说是ρ密集的，如果有球体半径ρ和中心在M中，包含至少一个在Y中的样本点。一个曲面M的有ξ噪声的样品{x1,x2,x3,....xn}∈R据说是ρ密集的，如果存在一个无噪声ρ密集的样品{y1,y2,...yn}属于M，例如xi=yi+ei,
16、
17、ei
18、
19、<=ξ,i=1,...,n。1.2问题陈述表面重建的
20、目标是确定曲面M(参见图2f),它近似于一个未知的表面M(图1a),使用一个示例X(图1b)和关于抽样过程的信息,例如,噪声等级ξ和采样密度ρ。我们正在努力完善条件关于原始表面M和样例X以至于允许M更可靠地重建。工作仍然只是初步的,我们不能给保证这里给出的算法。然而,该算法在实践中应用得很好,结果可以与原始表面进行对照(见第4节)。2相关工作2.1曲面重建表面重建方法可以根据他们所代表的重建的表面的不同方式进行分类。隐式重建方
