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1、有限元分析半开卷资料基本概念：位移a=u1v1u2v2…unvnT；等效结点荷载R=R1xR1yR2xR2y…RnxRnyTu=uv=Nae;Fe=kae;ε=εxεyγxyT=Lu=LNae=Bae;σ=σxσyτxyT=Dε=DBae=Sae第二章平面弹性力学问题1.位移模式与收敛性条件三角形单元的位移模式：u=Niui+Njuj+Nmumv=Nivi+Njvj+Nmvm式中Ni=ai+bix+ciy2Ai,j,m；ai=xjym-xmyj;bi=yj-ym;ci=-(xj-xm),A为单元面积A=121xiyi1xjyj1xmym(为了使面积A不成为负值，规定结点I,j,m的次序按逆
2、时针转向)矩形单元的位移模式：u=Niui+Njuj+Nmum+Npupv=Nivi+Njvj+Nmvm+Npvp式中Ni=141+ξixa1+ηiyb;ξi=xixi;ηi=yiyi(i,j,m,p)位移模式需满足的条件：a．位移模式必须能反映单元的刚体位移（与本单元的变形无关的位移）b.位移模式必须能反映单元的常量应变（与位置坐标无关的应变）c.位移模式应当尽可能反映位移的连续性（相邻单元之间位移的连续性和单元内部位移也是连续的）以三角形单元为例说明，a1,a4,a5-a32反映了刚体移动和刚体转动，a2,a6,a3+a5反映常量应变2.形函数及其性质形函数：即插值基函数，反应单元的位
3、移形态，因而也称为位移的形态函数，简称形函数(NiNjNm)形函数的性质：（2）在节点i上Ni=1，在其他节点上Ni=0，该性质可导出形函数在三角形单元上的积分和在某边界上的积分为ΩeNidxdy=13A,ijNids=12lijΩe表示对单元积分，ij表示对单元的ij边线积分（3）在单元中，任意点形函数之和等于1（4）形函数的值在0-1间变化3.面积坐标及三角形高次形函数的构造面积坐标：三角形单元中，任一点P(x,y)与其3个角点相连形成3个子三角形，其位置可以用三个比值来确定，即面积坐标。面积坐标只限于用在一个三角形单元内，因而是一种局部坐标。在平行于jm边的一根直线上的所有点，都具有
4、相同的Li坐标，而且这个坐标就等于“该直线至jm边的距离”与“结点i至jm边的距离”的比值用直角坐标表示面积坐标的关系式：Li=(ai+bix+ciy)2A式中ai=xjym-xmyj,bi=yj-ym,ci=-xj+xm用面积坐标表示直角坐标的关系式：x=xiLi+xjLj+xmLmy=yiLi+yjLj+ymLm六结点三角形单元的位移模式：u=Niui+Njuj+Nmum+N1u1+N2u2+N3u3v=Nivi+Njvj+Nmvm+N1v1+N2v2+N3v3Ni=Li2Li-1(i,j,m),N1=4LjLm(1,2,3)4.有限元支配方程的推导（结构力学法/变分原理）根据平衡条件
5、，各环绕单元对该结点作用的结点力之和应等于由各环绕单元移置而来的结点荷载之和，即eFi=eRi，再将结点力公式代入，变可得有限元的支配方程Ka=R,式中K为整体刚度矩阵，a为整体结点位移列阵，R为整体结点荷载列阵变分原理导出有限元支配方程证明：用最小势能原理推导出有限元的求解方程=12ΩεTDεtdxdy-ΩuTftdxdy-SσuTfds式中，t是平面弹性体的厚度，f是体积力，f是物体表面的面力离散成有限网格，其中ε=Bae,u=Nae代入上式可得=12e(ae)TΩeBTDBtdxdyae-e(ae)TΩeNTftdxdy-e(ae)TseNTftds利用ae=Cea,则=12aTKa
6、-aTR,其中K=eCeTkCe;R=eCeTRe;k=ΩeBTDBtdxdy;Re=ΩeNTftdxdy+seNTftds根据最小势能原理δ=0，即∂П∂a=0,这样就得到有限元的求解方程Ka=R虚功原理建立有限元的支配方程假设单元发生了虚位移，其相应虚位移为δu=δuδvT而该单元上各结点的相应虚位移为δae=δuiδviδujδvjδumδvmT按照静力等效原理，即结点荷载与原荷载在上述虚位移上的虚功相等，有(δae)TRe=δuTP将δu=Nδae代入，得(δae)TRe=（δae）TNTP由于虚位移是任意的，得Re=NTP5.荷载列阵：单元到整体体力引起的等效结点荷载：Re=-b
7、b-aaNTftdxdy面力引起的等效结点荷载：Re=-bbNTftdy常见分布荷载产生的等效结点荷载1.单元自重Re=-13ρgtA010101T2.在ij边界上受x方向均布力q作用，边界长度为l，Re=12qlt101000T3.在ij边界上受三角形分布荷载作用，边界长度为l，Re=12ql23013000T整体结点荷载列阵：确定每个单元的结点荷载列阵，然后根据各个单元的结点局部编码与整体编码的对应关系，将单元的结点
