第五章特征值(考研精讲).doc

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1、第五章特征值与特征向量1、数字型矩阵的特征值与特征向量知识点：定义：1º设阶方阵，如果存在数λ和非零向量使得，则称λ是A的特征值，称非零向量是属于λ的特征向量.2º由称为A的特征矩阵为A的特征多项式，它的根就是A的特征值.求法：1）特征值：2）特征向量：即求解线性方程组.注：属于同一个特征值的线性无关的特征向量为.例1.解：2、抽象矩阵的特征值与特征向量例2.设3阶矩阵A的三个特征值为1，－2，3，则－6，A－1的特征值为A*的特征值为－6,3,-2A2+2A+E的可逆性可逆4,1,16例3.设是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值为（）.例4.设向量都是非零向量，且满足条件，求（

2、1）A2（2）矩阵A的特征值和特征向量例5.设A为3阶矩阵，且，则解：A为特征值为：11＝1263、已知矩阵的特征值和特征向量来求矩阵和行列式等问题1）已知特征向量，一般用求解2）已知全部特征值和特征向量反求矩阵A则3）已知部分特征值和特征向量，反求另一部分特征值，特征向量或矩阵A4）已知特征值反求行列式例6.设有特征值，试求参数a,b的值.解：分析：用特征议程可建立两个方程得得由①②得例7.设矩阵可逆，向量是A*的一个特征向量，λ是α对应的特征值，求a,b,λ.解：由可逆，知λ≠0，从而.即.①②③得①－②得a=2①b－②得b=1或b=-2故当时，；当例8.已知是实对称矩阵A的三个特征

3、值，且对徉的特征向量为，求A对应于λ1＝6的特征向量及矩阵A解：设A对应于λ1＝6的特征向量，由于A实对称属于不同特征值正交故故∴属于λ1＝6的特征向量为进一步故4、矩阵相似和对角化的题目（2000，2001，2002，2003，2005，2007）知识点：1º相似矩阵具有相同的特征多项式2º矩阵A可对角化的充要条件且属于A的特征值的线性无关的特征向量个数之和有于。当A可对角化时，把个线性无关的特征向量作为矩阵P的列向量，则为对解矩阵，且对角矩阵的主对角线性的元素是A的个特征值。3º实对称矩阵必相似于对角矩阵例9.设A与B相似，其中（1）求（2）求可逆矩阵P，使分析：已知相似，反过来求参

4、数解：法一A～B，故有相同的特征多项式得令得令得法二：（2）由（1）知由，对应特征向量为令例10.设（1）求出A的所有特征值和特征向量（2）判断A能否对角化？如能对角化，则求出相似变换矩阵P，使A化为对角形矩阵。解：（1）由∴A的特征值为对应于对应于对应于（2）A有三个不同的特征值，故有三个线性无关的特征向量，故A可以对角化令则例11.设矩阵，已知A有三个线性无关的特征向量，是A的二重特征，试求可逆矩阵P，使得为对角形矩阵。解：因为A有三个线性无关的特征向量，时A的二重，故对应于的线性无关的特征向量有两个，故秩练习若3阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1,-1,2，计算：（1）（2）