向量组的线性相关性教案.docx

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1、第四章向量组的线性相关性1.教学目的和要求：（1）理解n维向量、向量的线性表示的概念.（2）理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.（3）了解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.（4）了解向量组等价的概念以及向量组的秩与矩阵秩的关系.（5）理解线性方程组解的性质.（6）理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念。掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.（7）理解非齐次线性方程组的解结构系及通解的概念.（8）会用初等行变换求解线性方程组.2

2、.教学重点：向量组的线性相关性、向量组的秩、线性方程组的解的结构.3.教学难点：（1）向量组的线性相关性中相关定理的证明.（2）求向量组的秩及最大线性无关组.（3）线性方程组的解的结构定理及其应用.4.教学容：§1向量组及其线性组合定义1n个有次序的数1,,n所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数称为第i个分量.定义2对n维向量及1,,m,若有数组k1,,km,使得表示．=k11+1+kmm，称为11,,3m的线性组合,或可由1,5,m线性10213143例1设1,1,1,1

3、线性表示?试判断4可否由1,2,3113k15k10011k23k22解设4k11k22k33，比较两端的对应分量可得111k31,求得一组解为k31于是有4012213,即4可由1,2,3线性表示．k1k2[注]取另一组解k3230时,有4213203．定理1向量b能由向量组A:a1,,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,,am)的秩等于矩阵的秩B=(a1,,am,b).定义3设有两个向量组A:a1,,am及B:b1,,bl,若B组中每个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B

4、能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能互相线性表示,则称这两个向量组等价.定理2向量组B:b1,,bl能由向量组A:a1,,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,,am)的秩等于矩阵的秩(A,B)=(a1,,am,b1,,bl)的秩,即R(A)R(A,B)推论向量组A:a1,,am与向量组B:b1,,bl等价的充分必要条件是R(A)R(B)R(A,B),其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵.定理3设向量组B:b1,,bl能由向量组A:a1,,am线性表示,则R(b

5、1,,bl)R(a1,,am)课后作业:习题四1，2，3，4，5§2向量组的线性相关性定义4线性相关：对n维向量组1,,m,若有数组k1,,km不全为0,使得k11++kmm=0则称向量组1,,m线性相关,否则称为线性无关．线性无关：对n维向量组1,,m,仅当数组k1,,km全为0时,才有k11++kmm=0则称向量组1,,m线性无关,否则称为线性相关．[注]对于单个向量：若若=0,则线性相关；≠0,则线性无关．对于两个向量的向量组,若对应分量成比例,则该向量组线性相关,否则线性无关

6、.例2判断例1中向量组1,2,3,4的线性相关性．解设k11+k22+k33+k44=0,比较两端的对应分量可得k111350k201130k311110k4即Ax0．因为未知量的个数是4,而R(A)4,所以Ax0有非零解,由定义知1,2,3,4线性相关．例3已知向量组1,2,3线性无关,证明向量组112,223,331线性无关．证设k11+k22+k33=0,则有(k1k3)1(k1k2)2(k2k3)30因为1,2,3线性无关,所以k1k3k1k2k2k310110101

7、k100110k200,即011k301020系数行列式011,该齐次方程组只有零解．故1,2,3线性无关．例4判断向量组e1(1,0,0,,0),e2(0,1,0,,0),,en(0,0,,0,1)的线性相关性．解设k1e1+k2e2++knen=0,则有(k1,k2,,kn)=0?只有k10,k20,,kn0故e1,e2,定理4,en线性无关.（1）向量组1,2,,m(m2)线性相关其中至少有一个向量可由其余m1个向量线性表示．证必要性已知1,2,,m线性相关,则存在k1,k2

8、,,km不全为零,使得k11+k22++kmk2m=0km不妨设k10,则有1()2k1()mk1．充分性不妨设1k22kmm,则有(1)1+k22++kmm=0因为(1),k2,,km不全为零,所以1,2,,m线性相关．（2）若向量组1,2,,m线性无关,1,2,