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《赵坚顾静相微积分初步第四章不定积分讲义》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、微积分初步第三讲时间:2013年10月23日星期三晚上6:30——8:30时第四章不定积分与定积分一、不定积分的概念(一)原函数与不定积分的概念1、原函数的概念定义4.1(课本P.90)设是定义在区间D上的函数,若存在函数,使得对于区间D的任意均有(或)则称为在区间D上的原函数。2、不定积分定义4.2(课本P.90)函数的全部原函数称为的不定积分,记作3、不定积分的几何意义如果是的一个原函数,的图形称为的积分曲线。因为的不定积分为由于的任意性,因此,不定积分的几何意义是的全部积分曲线所组成的曲线族,其表达式为7(二)不定积分的性质与积分基
2、本公式1、不定积分的性质①不定积分与求导数(或微分)互为逆运算②被积表达式的非零常数因子可以移到积分号之前③两个函数代数和的不定积分等于其分别不定积分的代数和2、积分基本公式①②,③,④,,二、换元积分法和分部积分法1、换元积分法(凑微分法或第一换元积分法)2、分部积分法三、定积分(一)定积分的定义设函数在区间上连续,是的一个原函数,数值称为函数在区间上的定积分,记为,即=对定积分的概念,应注意:1、定积分的数值与积分变量无关72、选取哪个原函数无关紧要3、变上限积分从而4、规定,(二)定积分的性质1、2、3、(三)定积分的计算1、换元积
3、分法2、分部积分法无限区间的广义积分微积分初步作业3解答———不定积分,极值应用问题一、填空题(每小题2分,共20分)1.若的一个原函数为,则。解:由已知可知所以2.若的一个原函数为,则。解:由题意所以因此3.若,则.7解:上式两边同时求导,得4.若,则.解:上式两边同时求导,得5.若,则.解:上式两边同时求导,得所以6.若,则.解:上式两边同时求导,得所以7..解:8..解:9.若,则.解:10.若,则.解:二、单项选择题(每小题2分,共16分)1.下列等式成立的是().A.B.C.D.解:应选A2.若,则().7A.B.C.D.解:两
4、边同时求导,得:所以应选C3.若,则().A.B.C.D.解:两边同时求导,得:所以应选A4.若,则().A.B.C.D.解:应选A5.以下等式成立的是()A.B.C.D.解:应选A6.()A.B.C.D.解:所以应选A7.=().7A.B.C.D.解:应选C8.如果等式,则()A.B.C.D.解:两边求导,得:所以,故应选B三、计算题(每小题7分,共35分)1.解:2.解:3.解:4.解:5.解:7四、极值应用题(每小题12分,共24分)1.设矩形的周长为120厘米,以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时,才能使圆柱
5、体的体积最大。解:设矩形的一边长为厘米,则另一边长为厘米,以厘米的边为轴旋转一周得一圆柱体,则体积为:,即:,令,得:(不合题意,舍去),,这时由于根据实际问题,有最大体积,故当矩形的一边长为厘米、另一边长为厘米时,才能使圆柱体的体积最大。2.欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地,并在正中用一堵墙将其隔成两块,问这块土地的长和宽选取多大尺寸,才能使所用建筑材料最省?解:设矩形的长为米,则矩形的宽为米,从而所用建筑材料为:,即:,令得:(取正值),这时由于根据实际问题,确实有最小值,故当矩形的长为米,宽为米时,才能使所用建筑材料最
6、省五、证明题(本题5分)函数在(是单调增加的.证明:因为,当(时,所以函数在(是单调增加的.7
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