赵坚顾静相微积分初步第四章不定积分讲义

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1、微积分初步第三讲时间：2013年10月23日星期三晚上6：30——8：30时第四章不定积分与定积分一、不定积分的概念（一）原函数与不定积分的概念1、原函数的概念定义4.1（课本P.90）设是定义在区间D上的函数，若存在函数，使得对于区间D的任意均有（或）则称为在区间D上的原函数。2、不定积分定义4.2（课本P.90）函数的全部原函数称为的不定积分，记作3、不定积分的几何意义如果是的一个原函数，的图形称为的积分曲线。因为的不定积分为由于的任意性，因此，不定积分的几何意义是的全部积分曲线所组成的曲线族，其表达式为7（二）不定积分的性质与积分基

2、本公式1、不定积分的性质①不定积分与求导数（或微分）互为逆运算②被积表达式的非零常数因子可以移到积分号之前③两个函数代数和的不定积分等于其分别不定积分的代数和2、积分基本公式①②，③，④，，二、换元积分法和分部积分法1、换元积分法（凑微分法或第一换元积分法）2、分部积分法三、定积分（一）定积分的定义设函数在区间上连续，是的一个原函数，数值称为函数在区间上的定积分，记为，即=对定积分的概念，应注意：1、定积分的数值与积分变量无关72、选取哪个原函数无关紧要3、变上限积分从而4、规定，（二）定积分的性质1、2、3、（三）定积分的计算1、换元积

3、分法2、分部积分法无限区间的广义积分微积分初步作业3解答———不定积分，极值应用问题一、填空题（每小题2分，共20分）1．若的一个原函数为，则。解：由已知可知所以2．若的一个原函数为，则。解：由题意所以因此3．若，则．7解：上式两边同时求导，得4．若，则．解：上式两边同时求导，得5．若，则．解：上式两边同时求导，得所以6．若，则．解：上式两边同时求导，得所以7．．解：8．．解：9．若，则．解：10．若，则．解：二、单项选择题（每小题2分，共16分）1．下列等式成立的是（）．A．B．C．D．解：应选A2．若，则（）.7A.B.C.D.解：两

4、边同时求导，得：所以应选C3．若，则（）.A.B.C.D.解：两边同时求导，得：所以应选A4．若，则（）.A.B.C.D.解：应选A5．以下等式成立的是（）A．B．C．D．解：应选A6．（）A.B.C.D.解：所以应选A7．=（）．7A．B．C．D．解：应选C8．如果等式，则（）A.B.C.D.解：两边求导，得：所以，故应选B三、计算题（每小题7分，共35分）1．解：2．解：3．解：4．解：5．解：7四、极值应用题（每小题12分，共24分）1．设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱

5、体的体积最大。解：设矩形的一边长为厘米，则另一边长为厘米，以厘米的边为轴旋转一周得一圆柱体，则体积为：，即：，令，得：（不合题意，舍去），，这时由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为厘米、另一边长为厘米时，才能使圆柱体的体积最大。2．欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设矩形的长为米，则矩形的宽为米，从而所用建筑材料为：，即：，令得：（取正值），这时由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为米，宽为米时，才能使所用建筑材料最

6、省五、证明题（本题5分）函数在（是单调增加的．证明：因为，当（时，所以函数在（是单调增加的．7