考研数学高等数学强化习题-不定积分.docx

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1、模块五不定积分Ⅰ经典习题一．原函数与不定积分1、设，下述命题成立的是（）（A）在上存在原函数（B）存在（C）在上存在原函数（D），则存在2、若的导函数是,则有一个原函数为()(A)(B)(C)(D)3、在下列等式中,正确的结果是()(A)(B)(C)(D)4、已知是的一个原函数，则.二．有理函数积分5、计算下列不定积分（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）三．可化为有理函数的积分1．三角有理式6、计算下列不定积分（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）2．指数有理式的积分7、计算下列不定积分（

2、1）（2）（3）（4）四．根式的处理8、计算下列不定积分（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）9、计算下列不定积分（1）（2）（3）（4）（5）（6）五．分部积分法的使用10、计算下列不定积分（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）11、计算下列不定积分（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）12、若的一个原函数为，则（）(A)(B)(C)(D)13、已知是的原函数，求.14、已知曲线过点,且其上任一点处的切线斜率为,求.15、求积分.16、已知有二阶连续导数，证明：.六．其他考查形式17、设求.18、设则Ⅱ参考答案一．原函数与不定积分1、【答

3、案】：（C）【解析】：在上连续，故存在原函数（A）不正确，在点处具有跳跃间断点，故在包含此点的区间内不存在原函数2、【答案】：(B)【解析】：由的导函数是,即,得,其中为任意常数.所以的原函数,其中为任意常数.令,得.故选(B).3、【答案】:(A)【解析】:由不定积分的概念和性质可知,,为常数.故应选(A).4、【答案】:【解析】:因为是的一个原函数，故.令，则.二．有理函数积分5、（1）【答案】：【解析】：（2）【答案】：（3）【解析】：通过变换，将积分转化为常见积分，即（4）【解析】：原式=（5）【解析】：设，计算得.（6）【解析】：（7）【解析】：（8）【解析】

4、：（9）【解析】：其中.故（10）【解析】：其中.，故（11）【解析】：（12）【解析】：（13）【答案】：【解析】：（14）【答案】：【解析】：6、（1）【解析】：利用万能公式：，令，则（2）【答案】：【解析】：先作恒等变形，凑微分得（3）【解析】：，令，故（4）【解析】：（5）【解析】：（6）【解析】：（7）【解析】：（8）【解析】：（）（9）【解析】：令则原式为即（10）【解析】：7、（1）【解析】：方法一：方法二：令，则.则原式为（2）【解析】：（3）【解析】：（4）【解析】：四．根式的处理8、（1）【解析】：（2）【解析】：令，则.（3）【解析】：令，则.（4

5、）【答案】：【解析】：令于是（5）【答案】：【解析】：（6）【解析】：（7）【解析】：（8）【解析】：9、（1）【答案】：【解析】：令，则原式（2）令，则，原式为利用万能公式：再将变量还原即可。（3）【解析】：令，则再将变量还原即可。（4）【解析】：令，则（5）【解析】：（6）【解析】：令则，。原式为五．分部积分法的使用10、（1）【答案】：【解析】：（2）【答案】：【解析】：（3）【答案】：【解析】：原式（4）【答案】：【解析】：（5）【答案】：【解析】：原式（6）【解析】：（7）【解析】：（8）【解析】：11、（1）【答案】：（2）【答案】：（3）【答案】：（4）【

6、答案】：（5）【答案】：（6）【答案】：（7）【答案】：（8）【答案】：12、【答案】：（C）【解析】：令，则..13、【解析】：已知是的原函数，因此，由分部积分法：.14、【解析】：由题知，可知.由分部积分法得因为曲线过点,故,所以所求曲线为.15、【解析】：故.16、【解析】：六．其他考查形式17、【解析】：由题可知，是在第一类间断点，故在内，不存在原函数；而是连续点，所以得不定积分只能分别在区间和内得到。因为是的连续点，所以得原函数在处连续，即18、【答案】：【解析】：所以因此