高一数学竞赛班选拔考试初稿.doc

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1、10年高一数学竞赛班选拔考试考试时间：试卷总分：120班级：姓名：学号：一．填空题（每小题8分，共80分）1.化简：的结果是.2.在凸边形的所有内角中，锐角的个数最多是个.3.设，则（填“≥”，“≤”，“＞”，“＜”，“=”）.4.如下图中，为直角，所对的边分别为，已知，则（用表示）.5.已知：（是自然数），那么=.6.已知点在直角坐标系中的坐标为，为坐标原点，，且到的距离为，则的坐标为.7.一个一次函数图象与直线平行，与轴、轴的交点分别为，并且过点，则在线段上（包括端点），横、纵坐标都是整数的点有个.8.如图，在平行四边形中，过三点的

2、圆交于，且与相切，若，则的长为.9.已知锐角的顶点到垂心的距离等于其外接圆半径，则的度数是.10．已知二次函数的图象与轴的交点分别为，与轴的交点为.设的外接圆的圆心为点，它与轴的另一个交点为.如果恰好为的直径且，则,.二．解答题（第11题15分，第12题25分，共40分）11.求证方程没有正整数解.12.已知都是正整数，抛物线与轴有两个不同的交点,若到原点的距离都小于，求的最小值．10年高一数学竞赛班选拔考试参考答案一．填空题1.解：2.3解：由于任何凸多边形的外角之和都是，故外角中钝角的个数不超过3个，即内角中锐角最多不超过3个.3.

3、解:借助下图知题中4.解：如图，延长，以为圆心，以为半径作圆交的延长线于，如下图故在中，，5.解：6.解：借助平面直角坐标系我们知道，点有两个：图中，它们关于轴对称如图，，，，7.4解：在直线上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是，（是整数）,在线段上这样的点应满足∴即8.解：如图连结AC、CE由AE∥BC，知四边形ABCE是等腰梯形。故AC＝BE＝5又因为DC∥AB，DC与圆相切，所以，∠BAC＝∠ACD＝∠ABC则AC＝BC＝AD＝5，DC＝AB＝4因为，故9.解:锐角的垂心在三角形内部如图，设的外心为，为的中点,的延长线交⊙于点AEC

4、BDOH连、则//，//则所以10.解: (1)首先我们证明点是定点由题意：易求得点的坐标为，设则，设与轴的另一个交点为,由于是的两条相交弦，它们的交点为点，所以，则因为，所以点在轴的负半轴上，从而点在轴的正半轴上，所以点为定点，它的坐标为.  （2）再求的值因为，如果恰好为的直径，则关于点对称，所以点的坐标为，即.又，所以解得二．解答题11.证：由原方程得11是质数又因为要验证方程是否有正整数解，故只需考察x,y∈的情况故应有①或②考察第①式：∴∴故①式没解对于第②式：把代入得到，但不整除所以也没有正整数解命题最后得证。12.解:据题

5、意，方程有两个相异根，都在中故,且①可见②且③即得由③知又现分别取的最小整数5、5、1经检验，符合题意∴最小