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1、;.§4.3贝塞尔曲线和B样条曲线在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲线通过所有给定的型值点。我们称之为“点点通过”。但在实际工作中，往往给出的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。在这样的前提下，用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算；另外，局部修改某些型值点，希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。针对以上要求，法国人Bezier提出了一种参数曲线表示方法，称之为贝塞尔曲线。后来又经Gorgon,Riesenfeld和Forrest等人加以发展成为B样条曲线。一、贝塞尔曲线贝塞尔曲线是通过一组多
2、边折线的各顶点来定义。在各顶点中，曲线经过第一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。1.数学表达式n+1个顶点定义一个n次贝塞尔曲线，其表达式为：np(t)piBi,n(t)0t1i0pi(i0,1,2,...,n)为各顶点的位置向量，Bi,n(t)为伯恩斯坦基函数Bi,n(t)n!ti(1t)nii!(n1)!2.二次贝塞尔曲线需要3个顶点，即p0,p1,p2，将其代入曲线表达式：p(t)p0B0,2p1B1,2p2B2,2;..;.B0,22!t0(1t)20(1t)212tt20!(20)!B1,22!t1(
3、1t)212t(1t)2t2t21!(21)!B2,22!t2(1t)22t22!(22)!p(t)(12tt2)p0(2t2t2)p1t2p2121p0t2t1220p10t1100p2p(t)2(t1)p02(12t)p12tp2p(0)2p02p12(p1p0)p(0)p0p(1)2p12p22(p2p1)p(1)p2当t1时：2111111111p2(1224)p0(2224)p14p24p02p14p21[p11(p0p2)]22p12(11)p02(121)p121p2p2p02222;..;.3.三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线需要4个点，即p0、p1、p2、p3。
4、p(t)p0B0,3(t)p1B1,3(t)p2B2,3(t)p3B3,3(t)其中：B0,33!0)!t0(1t)30(1t)313t3t2t30!(3B1,33!1)!t1(1t)313t(1t)23t6t23t31!(3B2,33!2)!t2(1t)323t2(1t)13t23t32!(3B3,33!3)!t3(1t)33t33!(3p(t)(13t3t2t3)p0(3t6t23t3)p1(3t23t3)p2t3p31331p0p(t)t3t2t13630p10t13300p21000p3贝塞尔曲线特点：1.n个顶点定义n-1次曲线，当顶点数较大时，拟合的曲线阶次太高。
5、2.任一顶点对整条曲线的形状都有关系，不利于局部修改。二、B样条曲线用B样条曲线基函数替代伯恩斯坦基函数。1.数学表达式通常，给定m+n+1个顶点pi(i0,1,,mn)可以定义m+1段n次参数函数为：npi,n(t)pikFk,n(t)（0t1），(i0,1,,m)k0其中Fk,n(t)为B样条分段混合函数，形式为：;..;.1nkjj(tnkj)Fk,n(t)(1)Cn1n!j0?段数、次数段数=节点数-次数，每段曲线与n+1个点有关；?Cmnm!n!(mn)!2.二次B样条曲线n=2,k=0,1,2pi(t)piF0,npi1F1,npi2F2,n120jj(t20j)
6、2F0,n(1)C32!j01[(1)03!(t2)2(1)13!(t1)2(1)23!t220!(30)!1!(31)!2!(32)!1(t1)22F1,2121(1)jj(t21j)22jC301[(1)03!(t1)2(1)13!(t11)2]20!(30)!1!(31)!1(2t22t1)2F2,210jj(t22j)21(1)03!t2122j(1)C321!(3t01)!2pi(t)1(t1)2pi1(2t22t1)pi11t2pi2222pi(t)(t1)pi(2t1)pi1tpi2p(0)1(pipi1)21p(1)(pi1pi2)p(0)pi1pip(1)p
7、i2pi1;..;.111p(){[p(0)p(1)]pi1}222p(1p(1)p(0))23.三次B样条曲线n=3,k=0,1,2,33pi(t)pikFk,3(t)F0,3B0F1,3B1F2,3B2F3,3B3k0其中Fk,31nk(1)jCnj1(tnkj)n，Bl(l0,1,2,3)称为特征多边形。3!j0F0,313(1)jj(t3j)33!C4j01[(1)04!(t3)3(1)14!(t2)3(1)24!(t1)3(1)34!t360!(40)!1!(41)!2!(42)!3!(43)
