一次二阶矩法与蒙特卡洛法简介ppt课件.pptx

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1、可靠度指标及其几何意义可靠度指标及其几何意义可靠指标是指在标准化空间中，坐标原点到极限状态方程表示的直线的最短距离。一次二阶矩法基本原理分类一次二阶矩法是一种在随机变量的分布尚不清楚时，采用均值和标准差的数学模型，求解结构的可靠指标、结构可靠度的方法。该法将功能函数Z=g(X)在某点用泰勒级数展开，使之线性化，然后求解结构的可靠度，因此称为一次二阶矩。中心点法设计验算点法中心点不在极限状态面上，在中心点用泰勒级数展开的对应曲面可能会偏离原极限状态面，不能考虑随机变量的实际分布，对非线性极限状态函数，计算误差可能会比较大将功能函数的线性化Talor站开点选在失效面上，同时考虑了基本随

2、机变量的实际分布中心点法基本原理验算点法基本原理设结构的极限状态方程为：Z=g(X)=0（2-1）将极限状态方程在设计验算点x*=(x1*,x2*……xn*)处按Taloy级数展开，取一次项：Z的均值为：设各随机变量相互独立，则Z的标准差为：(2-3)(2-2)(2-4)(2-5)(2-7)验算点法基本原理将2-5代入2-6，得定义变量Xi的灵敏度系数如下：式2-7可写为：（2-8）（2-9）（2-10）验算点法基本原理可靠度指标及验算点的几何意义（二维随机变量）可靠指标在几何上就是Y空间内从原点0（即中心点）到极限状态超曲面Ｚ＝0的最短距离。在超曲面Ｚ＝0上，离原点0最近的点Y*

3、(y1*,y2*,····,yn*)即为验算点。若定义法线Oy*对坐标向量的方向余弦：（2-11）代入2-11得：失效域可靠域极限状态面在y*点处的线性近似平面ββcosθy1βcosθy22.设计验算点法基本原理假定初始验算点x*计算灵敏度系数计算可靠度指标β计算新的验算点

4、

5、x*

6、

7、之差<ε是否独立正态分布的随机变量验算点法计算流程验算点法计算步骤非正态分布随机变量JC法为当量正态化法，将原来非正态分布随机变量Xi用等效正态分布代替，要求满足以下2个条件：原函数值F(xi*)与当量正态函数值F’(xi*)相等原概率密度值f(xi*)与当量正态分布概率密度值f’(xi*)相等JC

8、法验算点法-当量正态化假设Xi为非正态随机变量，均值和标准差分别为μXi、σXi，概率密度函数为fXi(xi)，累积分布函数为Fxi(xi)。与Xi相对应的当量正态化变量为Xi‘（满足正态分布），均值和标准差为μX’i、σX‘i，概率密度函数为fX’i(x’i),累积分布函数为FX’i(x’i)(2-12)(2-13)(2-14)(2-15)将当量正态化变量的均值和标准差的均值代入验算点法计算流程即可进行计算JC当量正态化步骤土坡沿圆弧划裂面绕O点发生滑动破坏。W为滑动土体的自重，坡内土层分为两层F1，F2分别为第一层土和第二层土提供的抗滑阻力，T为超载。功能函数有两种，一种为线性

9、函数，一种为非线性函数分别采用采用中心点法和设计验算点法计算可靠度指标β及失效概率pf例1基本随机变量统计值例题分析计算方法功能函数可靠度指标β失效概率pf中心点法2.64450.00412.18660.0144验算点法2.64450.00412.64450.0041一次二阶矩法由以上计算结果，可以得到如下结论：对于相同意义但不同形式的功能函数，中心点法的计算结果可能不相同中心点法适用于线性化程度较高的功能函数在验算点X*(P*)处用该点的切平面来代替真正的失效面,在验算点处随着失效面的凸向或凹向标准化正态空间的坐标原点,验算点到原点的距离，即计算结果将偏于安全或危险。岩土工程相关

10、的功能函数大多为非线性函数，相对于中心点法，采用验算点法更为准确蒙特卡洛模拟法伯努利大数定理蒙特卡洛模拟法基本思想直接抽样法计算步骤产生[0,1]均匀分布的随机数Z的均值和标准差的估计值为：蒙特卡洛模拟法随机变量的模拟方法使用MATLAB内的函数可以方便地生成各种随机数，在得到[0，1]均匀分布的随机数后，可以采用多种方法模拟随机变量。正态分布随机数的模拟R1、R2为相互独立的[0，1]分布的随机数，μ、σ为正态分布的均值和标准差。用此算法产生正态分布的随机数的精度高,可以同时产生一对互为正交的正态随机数。蒙特卡洛模拟法蒙特卡洛模拟法用蒙特卡洛法模拟法计算例1中的非线性极限状态方程

11、，结果对比如下：可靠度指标β失效概率pf验算点法2.64450.0041蒙特卡洛法（模拟25000次）2.15200.00415蒙特卡洛模拟法可靠度指标β失效概率pf验算点法4.35020.0000068蒙特卡洛法2.83820.000007验算点法（论文结果）4.322蒙特卡洛法（论文结果）2.82180.00003计算结果分析过验算点的切平面的法线一般不与0P*重合，这将随着极限状态方程的非线性程度的增大而偏离愈大,因此所得的β值与真正的β相差愈大。如右图所示，例