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时间:2020-05-17
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1、第六章偏微分方程式之求解在化工的领域中,有不少程序之动态是由以偏微分方程式(Partialdifferentialequation;PDE)所描述的,例如热与质量在空间中的传递等。这些用以描述实际问题的PDE,除非具有某些特定的方程式型态及条件,否则甚难以手算的方式找出解析解。而在数值求解方面,最常被采用的方法为有限差分法(finitedifference)何有限元素法(finiteelement)。然对于某些不熟悉数值分析及程序编写的化工人而言,欲充分了解以偏微分方程式所描述之系统动态是相当不容易的,更遑论进一步的设计与分析了。值得
2、庆幸的是,MATLAB的环境中提供了一个求解PDE问题的工具箱,让使用者得以利用简单的指令或图形接口工具输入欲解的PDE,并求解。使得PDE之数值解在弹指之间完成,使用者不在为数值法所苦恼,轻松掌握偏微分方程式系统的动态,并可进一步进行后续之设计工作。本章将以循渐进的方式,介绍PDE工具箱及其用法,并以数个典型的化工范例进行示范,期能使初学者很快熟悉PDE工具箱,并使用它来设计与分析以偏微方方程式所描述的程序系统。6.1偏微分方程式之分类偏微分方程式可根据其阶数(order),线性或非线性型态,以及边界条件进行分类。6.1.1依阶数的
3、分类偏微分方程式是以偏微分项中之最高次偏微分来定义其阶数,例如:一阶偏微分方程式:二阶偏微分方程式:三阶偏微分方程式:6.1.2依非线性程度分类偏微分方程式亦可以其线性或非线性情况,区分为线性(linear),似线性(quasilinear),以及非线性三类。例如,以下之二阶偏微分方程式(ConstantinidesandMostoufi,1999)可依系数之情况,进行如下表之归类类别情况线性系数为定值,或仅为(x,y)函数似线性系数为依变数(dependentvariable)u或其比方程式中之偏微分低阶之偏微分项的函数,如非线性系
4、数中,具有与原方程式之偏微分同阶数之变数,如另外,对于线性二阶偏微分方程式,可进一步将其分类为椭圆型(elliptic),拋物线型(parabolic),以及双曲线型(hyperbolic)。具体上来说,此类偏微分方程式二阶线性之一般式为系数是定值或为u的函数。若g=0,则上式为其次是偏微分方程式。式子()之分类及代表性例子,请见下表方程式类别判断式代表性范例椭圆型Laplace方程式,拋物线型Poisson方程式,热传导或扩散方程式双曲线型波动方程式注:二维系统之运操作数之定义为6.1.3起始条件和边界条件的分类为了能获得偏微分方程
5、式之解答,其起始条件和边界条件可依其特性区分为三类。现以一维之动态热传递方程式(拋物线型偏微分方程式)为例,进一步说明如何区分这些边界条件及起始条件(ConstantinidesandMostoufi,1999)。(i)第一类:DirichletCondiction若依变量(T)本身,在某个独立变量值时,被指定,则此条件称为DirichletCondiction,亦称为essential边界条件。下图为一典型的Dirichlet条件示意图图6.1平板DirichletCondiction示意图由图中很清楚的显示,该平板之边界条件为此边
6、界条件依定义,即为DirichletCondiction。同时,若再起始时,各处之温度分布可以位置之函数表示,即此亦属Dirichlet型之边界条件。(ii)第二类:NeumannconditionNeumanncondition系指依变量之变化率之边界条件为定值,抑或独立变量之函数之情况。例如或Neumann型边界条件,亦称为naturalboundarycondition。(iii)第三类:Robbinscondition若依变量之变化率之边界条件,为自身之函数(非独立变量之函数)时,被称为Robbinscondition。例如,
7、上式之边界条件,当发生在固液相间之传递上,亦即热流通量(heatflux)正比于固液两端之温差,其示意图如下:(iv)CauchyconditionCauchycondition系指问题中同时存在Dirichlet和Neumann边界条件。例如下图即“Dirichletcondition”“Neumanncondition”6.2MATLABPDE工具箱6.2.1MATLABPDE解答器MATLAB提供了一个指令pdepe,用以解以下的PDE方程式其中时间介于之间,而位置则介于有限区域之间。m值表示问题之对称性,其可为0,1或2,以表
8、示平板(slab),圆柱(cylindrical)或球体(spherical)之对秤情况。因而,如果如果m>0,则a必等于b,也就是说其具有圆柱或球体之对称关系。同时,式中一项为流通量(flux),而为来源(source
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