偏微分方程之求解.doc

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1、第六章偏微分方程式之求解在化工的领域中，有不少程序之动态是由以偏微分方程式(Partialdifferentialequation；PDE)所描述的，例如热与质量在空间中的传递等。这些用以描述实际问题的PDE，除非具有某些特定的方程式型态及条件，否则甚难以手算的方式找出解析解。而在数值求解方面，最常被采用的方法为有限差分法(finitedifference)何有限元素法(finiteelement)。然对于某些不熟悉数值分析及程序编写的化工人而言，欲充分了解以偏微分方程式所描述之系统动态是相当不容易的，更遑论进一步的设计与分析了。值得

2、庆幸的是，MATLAB的环境中提供了一个求解PDE问题的工具箱，让使用者得以利用简单的指令或图形接口工具输入欲解的PDE，并求解。使得PDE之数值解在弹指之间完成，使用者不在为数值法所苦恼，轻松掌握偏微分方程式系统的动态，并可进一步进行后续之设计工作。本章将以循渐进的方式，介绍PDE工具箱及其用法，并以数个典型的化工范例进行示范，期能使初学者很快熟悉PDE工具箱，并使用它来设计与分析以偏微方方程式所描述的程序系统。6.1偏微分方程式之分类偏微分方程式可根据其阶数(order)，线性或非线性型态，以及边界条件进行分类。6.1.1依阶数的

3、分类偏微分方程式是以偏微分项中之最高次偏微分来定义其阶数，例如：一阶偏微分方程式：二阶偏微分方程式：三阶偏微分方程式：6.1.2依非线性程度分类偏微分方程式亦可以其线性或非线性情况，区分为线性(linear)，似线性(quasilinear)，以及非线性三类。例如，以下之二阶偏微分方程式(ConstantinidesandMostoufi,1999)可依系数之情况，进行如下表之归类类别情况线性系数为定值，或仅为(x,y)函数似线性系数为依变数(dependentvariable)u或其比方程式中之偏微分低阶之偏微分项的函数，如非线性系

4、数中，具有与原方程式之偏微分同阶数之变数，如另外，对于线性二阶偏微分方程式，可进一步将其分类为椭圆型(elliptic)，拋物线型(parabolic)，以及双曲线型(hyperbolic)。具体上来说，此类偏微分方程式二阶线性之一般式为系数是定值或为u的函数。若g=0，则上式为其次是偏微分方程式。式子()之分类及代表性例子，请见下表方程式类别判断式代表性范例椭圆型Laplace方程式，拋物线型Poisson方程式，热传导或扩散方程式双曲线型波动方程式注：二维系统之运操作数之定义为6.1.3起始条件和边界条件的分类为了能获得偏微分方程

5、式之解答，其起始条件和边界条件可依其特性区分为三类。现以一维之动态热传递方程式(拋物线型偏微分方程式)为例，进一步说明如何区分这些边界条件及起始条件(ConstantinidesandMostoufi,1999)。(i)第一类：DirichletCondiction若依变量(T)本身，在某个独立变量值时，被指定，则此条件称为DirichletCondiction，亦称为essential边界条件。下图为一典型的Dirichlet条件示意图图6.1平板DirichletCondiction示意图由图中很清楚的显示，该平板之边界条件为此边

6、界条件依定义，即为DirichletCondiction。同时，若再起始时，各处之温度分布可以位置之函数表示，即此亦属Dirichlet型之边界条件。(ii)第二类：NeumannconditionNeumanncondition系指依变量之变化率之边界条件为定值，抑或独立变量之函数之情况。例如或Neumann型边界条件，亦称为naturalboundarycondition。(iii)第三类：Robbinscondition若依变量之变化率之边界条件，为自身之函数(非独立变量之函数)时，被称为Robbinscondition。例如，

7、上式之边界条件，当发生在固液相间之传递上，亦即热流通量(heatflux)正比于固液两端之温差，其示意图如下：(iv)CauchyconditionCauchycondition系指问题中同时存在Dirichlet和Neumann边界条件。例如下图即“Dirichletcondition”“Neumanncondition”6.2MATLABPDE工具箱6.2.1MATLABPDE解答器MATLAB提供了一个指令pdepe，用以解以下的PDE方程式其中时间介于之间，而位置则介于有限区域之间。m值表示问题之对称性，其可为0，1或2，以表

8、示平板(slab)，圆柱(cylindrical)或球体(spherical)之对秤情况。因而，如果如果m>0，则a必等于b，也就是说其具有圆柱或球体之对称关系。同时，式中一项为流通量(flux)，而为来源(source