金融数学笔记.doc

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1、第一讲Black-Sholes公式的离散形式证明一、Black-Sholes的期权定价公式看张期权的定价公式：看跌期权的定价公式：其中为标的物的价格且，为到期时的股票价格；为无风险利率;k为敲定价格。二、证明(1)两个基本假设：股票市场有波动，不存在风险套利(a)分为N等份，每一段时间为(b)假设初始财富为1，每一期的期末有两种可能：以p的概率变为1+b；以1-p的概率变为1+a。每一个等份内的利率为，(2)易知。(3)构造离散形式的二叉数模型（1+b）2（1+b）（1+a）（1+a）2（1+b）（1+a）1（1+b）n-1（1+a）（1+b）n-k（1+a）k（1+b）n（

2、1+b）n…………………………p1-ppp1-p1-p上面的二叉树可以一直延续到第N期，期末的财富为。N阶段必然有N+1个终点，其中包括：个，个，…个…,个。(4)在T时刻有如果我们令，就可以得到下式：(5)期权在N时刻的价值call:put:(6)看张和看跌期权的平价关系由步骤（5）可知：(7)收益率的换算因为，所以连续复利。又因为根据无套利均衡原理，平均收益率令，则(8)二项分布的正态逼近定理：设，独立同分布。对其中的有，则：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)证明：由于，将和带入可以得到：取极限有：(Ⅰ)(Ⅱ)；所以有(Ⅲ)的特征函数所以(9)看跌期权的价值令所以令再令，所以又因为当时所

3、以令有再令进一步可得到：(10)由步骤(6)的平价关系可知：第二讲证券投资组合理论一、证券投资组合的收益风险测定1、单一证券的收益风险的测定R为某种证券在一段时间内的收益率，是随机变量E(R)——预期收益率——证券风险2、两个证券收益与风险的测定预期收益率：风险3、两个证券、、、之间的关系BAｒ＝１ｒ＝－１ｒ＝0①②③4、多种证券的组合　　　　　　　　二、有效边界和最优投资组合⑴可行集⑵有效集⑶风险偏好，无差异曲线⑷最优投资组合三、无风险资产无风险资产收益确定，方差为零。RfMmM1M2Rf四、有效边界线为双曲线1、两基金分离定理：有效边界上的任一点都可以由上面的两个不同点的

4、线性组合表示2、有效边界线为双曲线的证明:资产权重：资产收益（列向量）：　　　　资产的协方差矩阵：　　　　约束条件：构造拉格朗日函数：　　　　　　　　　　　①由①得：记　　(B>0,C>0,D>0)则：解得：记 得：设，是对应上式的两个点，。第三点取一，使得：在有效边界上任取一点P,⑴⑵⑶即：最小方差集是均值—方差坐标系中的双曲线的一支。第三讲资本资产定价理论一、资本市场线Rf0σmσ＝令＝1,其中，表示无风险，表示有风险如果>0,=1－<1如果<0,=1－>1二、证券市场组合点A,B表示两种股票(有风险)，F表示无风险债券A：总市值660亿元,B：总市值220亿元，F：总

5、市值120亿元三、资本资产定价模型（CAPM）1、＝＝＝==（,,……，）＝＝2、＝＝有风险的市场组合，与各个资产i和市场组合的风险有关，而与各个风险之间的风险无关，m,i越大，市场组合的整体风险越大E(r)=a+b四.证券市场线（SML）E（）==其中为贝塔系数。资本市场线与证券市场线的区别：资本市场线中，M表示市场组合。证券市场线表示某一个证券在市场中的风险，等。五.证明。证：设有一投资组合P，风险证券i和有风险的市场组合M。第i个证券的比例为，有风险市场组合M的比例为。两式相除：资本市场线的斜率其中为均衡市场上第i个产品的投资收益率。资本市场线上P是资本市场线上的点，为

6、投资人期望的投资收益率。第四讲随机分析一、Wiener过程1、定义如果随机过程满足（1）（2）是齐次的独立增量过程（3）对于每一个，有则称随机过程为维纳过程。特别的当σ=1时，，称为标准的维纳过程。对于，，是相互独立且2、定义①均值函数：②方差函数：③（自）协方差：④（自）相关函数：3、二阶矩过程定义若随机过程，对于任意t，都有二、均方极限1、Z与相等，①②有上两式知：2、均方极限，记为：3、，则：a、b为常数则：三、均方连续1、设为二阶矩过程，若，则称在点t除连续，2、连续的准则，，在点t处连续在处连续。，不妨令则：若：反之可推，所以四、均方导数1、设为二阶矩过程，如果存在

7、则称在点t处可导，记为：，2、均方可微准则，，在点t处可微在处可混合二阶偏导。即：存在并且等于性质：①②例子：，A位随机变量，若，则证明：两个不等式五、均方积分1、定义黎曼积分（Riemannintegral）①，②，，令③，2、均方可积准则存在存在3、性质：①②③连续则可积④连续则，连续可微，且。⑤⑥则，例：设为维纳过程，求解：，，令，则有：因为所以所以：六、斯第尔切斯积分（Stieljesintegral）1、或者或者2、有界变差，七、二次变差1、，判断是否成立2、维纳过程的二次变差并不趋近于0，因