复变函数课后复习题

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1、2.在映射下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设或.（1）；（2）;(3)x=a,y=b.(a,b为实数)解：设所以(1)记，则映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即(2)记，则映成了w平面上扇形域，即(3)记，则将直线x=a映成了即是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b映成了即是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.7.证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数.(1);证明：因为，所以,.所以u,v为常数，于是f(z)为常数.(2)解析.证明：设在D内解析,则而f(z)为解析函数，所以所以即从而v为常数，u为常数，即f(z)为常数.(3)Ref(z)=常数.

2、证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1,因为f(z)解析，C-R条件成立。故即u=C2从而f(z)为常数.(4)Imf(z)=常数.证明：与（3）类似，由v=C1得因为f(z)解析，由C-R方程得,即u=C2所以f(z)为常数.5.

3、f(z)

4、=常数.证明：因为

5、f(z)

6、=C，对C进行讨论.若C=0，则u=0,v=0,f(z)=0为常数.若C0，则f(z)0,但，即u2+v2=C2则两边对x,y分别求偏导数，有利用C-R条件，由于f(z)在D内解析，有所以所以即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.(6)argf(z)=常数.证明：argf(z)=常数，即,于是得C-R条件→

7、解得，即u,v为常数，于是f(z)为常数.(2)解：　即(3)解：　即(4)解：(1)(2)解(1)因为所以令y=0,上式变为从而(2)用线积分法，取（x0,y0）为(1,0)，有由，得C=017.求下列微分方程的解(1)(2)解:(1)设方程两边取拉氏变换,得为Y(s)的三个一级极点,则(2)方程两边同时取拉氏变换,得