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1、专题三：排列、组合及二项式定理一、排列、组合与二项式定理【基础知识】1.分类计数原理（加法原理）.2.分步计数原理（乘法原理）.3.排列数公式==.(n，m∈N*，且m≤n)．4.组合数公式===(n，m∈N*，且m≤n).5.组合数的两个性质：(1)=;(2)+=（3）.6.排列数与组合数的关系是：.7.二项式定理：;二项展开式的通项公式：.【题例分析】例1、从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？解法：问题分成三类：（1）甲乙二人均不参加，有种；（2）甲、乙二人有且仅有
2、1人参加，有2（－）种；（3）甲、乙二人均参加，有（－2＋）种，故共有252种．点评：对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种．例2:有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生．(2)某女生一定要担任语文科代表．(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表．(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表．解：(1)先取后排,有种,后排有种,共有＝5400种．(2)除去该女生后先取后排：种．(3)先取后排,但先安排
3、该男生：种．(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有种,再安排该男生有种,其余3人全排有种,共=360种．例3、、有6本不同的书（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？（2）分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（6）摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？解：（1）在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的
4、4本书中取2本给乙，最后2本给丙，共有（种）。（2）6本书平均分成3堆，用上述方法重复了倍，故共有（种）。（3）从6本书中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做一堆，共有（种）（4）在（3）的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有（种）。（5）平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有（种）。（6）本题即为6本书放在6个位置上，共有（种）。例4、如果在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。解：展开式中前三项的系数分别为1，，，由题意得：2×=1+得=8。设第r+1项为有理项，，则r是4的
5、倍数，所以r=0，4，8。有理项为。【巩固训练】一.选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内.1、设k=1，2，3，4，5，则（x+2）5的展开式中xk的系数不可能是A10B40C50D80.2、某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分.一球队打完15场，积33分.若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有A3种B4种C5种D6种.二.填空题：把正确答案填写在题中的横线上.3、将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球
6、，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有种.（以数字作答）4、设则―三.解答题：(解答应写文字说明，证明过程或演算步骤)5、（1）10个优秀指标分配给6个班级，每班至少一个，共有多少种不同的分配方法？（2）10个优秀名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？6、若=，求（1）―的值。（2）的值。二、等可能事件的概率【基础知识】等可能性事件的概率.【题例分析】例1、某班有学生36人，血型分别为A型12人,B型10人,AB型8人,O型6人，现从中抽出2人，求这两人血型不相同的概率.解
7、:P(两人血型相同)＝P(两人血型均为A型)＋P(两人血型均为B型)＋P(两人血型均为AB型)＋P(两人血型均为O型)＝.所以，P(两人血型不同)＝1－.点拨:从四种血型中抽出2种有C24＝6种，依次分类则情形较复杂，所以本题用间接法较简便.例2、从男、女学生共有36名的班级中,任意选出两名委员,任何人都有同样的机会当选,如果选得同性委员的概率等于，求男、女相差几名？解：设男生有x名，则女生有36－x名，选得2名委员都是男性的概率为＝.选得两名委员都是女性的概率为＝.以上两种选法是互斥的，所以选得两名委员是同性委员的概率等于其概率和.依
8、题意＋＝.解得x＝15或x＝21.即该班男生有15名，女生有36－15＝21人或者男生有21人，女生有36－21＝15人，总之，男女相差6名.例3、在袋中装30个小球，其中彩球有n个红色，5个蓝色,10个黄
