2010部分市中考几何压轴题.doc

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1、2010部分省市中考几何压轴题例1．（2010浙江嘉兴）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个的顶点与点P重合，第二个的顶点是与PQ的交点，…，最后一个的顶点、在圆上．（第23题）（第23题图1）（第23题图2）（第1题图1）（1）如图1，当时，求正三角形的边长；（2）如图2，当时，求正三角形的边长；（3）如题图，求正三角形的边长（用含n的代数式表示）．（1）设与交于点D，连结，则，在中，，即，解得．（2）设与交于点E，连结

2、，则，在中，即，解得．（3）设与交于点F，连结，则，在中，即，解得．2．（2010四川南充）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE＝BC．（1）求∠BAC的度数．（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．求证：四边形AFHG是正方形．（3）若BD＝6，CD＝4，求AD的长．AFCDEGHBO【答案】（1）解：连结OB和OC．∵　OE⊥BC，∴　BE＝CE．∵　OE＝BC，∴　∠BOC＝90°，∴　∠BAC＝45°．　（2）证明：∵　

3、AD⊥BC，∴　∠ADB＝∠ADC＝90°．由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°，∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，∴　∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°．∴　∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°．∴　四边形AFHG是正方形．　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4．设AD的长为x，则　BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4．在Rt△BCH中，BH2

4、＋CH2＝BC2，∴　（x－6）2＋（x－4）2＝102．解得，x1=12，x2＝－2（不合题意，舍去）．∴　AD＝12．　　　　　　　　　　　　　例3．（2010湖北荆门）如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．（1）求证：AC·CD=PC·BC；（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求出这个最大面积S。

5、【答案】（1）由题意，AB是⊙O的直径；∴∠ACB=90。，∵CD⊥CP，∴∠PCD=90。∴∠ACP+∠BCD=∠PCB+∠DCB=90。，∴∠ACP=∠DCB，又∵∠CBP=∠D+∠DCB，∠CBP=∠ABP+∠ABC，∴∠ABC=∠APC，∴∠APC＝∠D，∴△PCA∽△DCB；∴，∴AC·CD=PC·BC（2）当P运动到AB弧的中点时,连接AP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90。，又∵P是弧AB的中点，∴弧PA=弧PB，∴AP=BP，∴∠PAB=∠PBA=45.,又AB=5，∴PA=，过A

6、作AM⊥CP，垂足为M，在Rt△AMC中，∠ACM=45，∴∠CAM=45，∴AM=CM=，在Rt△AMP中，AM2+AP2=PM2，∴PM=，∴PC=PM+=。由（1）知：AC·CD=PC·BC，3×CD=PC×4，∴CD＝（3）由（1）知：AC·CD=PC·BC，所以AC：BC=CP：CD；所以CP：CD=3：4，而△PCD的面积等于·=，CP是圆O的弦，当CP最长时，△PCD的面积最大，而此时CP就是圆O的直径；所以CP=5，∴3：4=5：CD；∴CD=，△PCD的面积等于·==；例4．（201

7、0四川成都）已知：如图，内接于⊙O，为直径，弦于，是AD的中点，连结并延长交的延长线于点，连结，分别交、于点、．（1）求证：是的外心；（2）若,求的长；（3）求证：．⌒⌒（1）证明：∵C是AD的中点，∴AC=CD，∴∠CAD=∠ABC⌒∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。∴∠CAD+∠AQC=90°又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°∴∠AQC=∠PCQ∴在△PCQ中，PC=PQ，∵CE⊥直径AB，∴AC=AE⌒⌒∴AE=CD∴∠CAD=∠ACE。∴在△APC中，有PA=PC，∴PA=PC=

8、PQ∴P是△ACQ的外心。（2）解：∵CE⊥直径AB于F，∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC=，CF=8，得。∴由勾股定理，得∵AB是⊙O的直径，∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=，得。易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴∴。（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°∴∠DAB+∠ABD=90°又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°∴∠DAB=∠G；∴Rt△AFP∽Rt△GFB，∴，即易知Rt△ACF∽Rt△CBF，∴∴由（1），知PC=PQ