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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）222设圆的标准方程为(xa)(yb)r．∵圆心在y0上，故b0．222∴圆的方程为(x
2、a)yr．又∵该圆过A(1,4)、B(3,2)两点．22(1a)16r∴22(3a)4r2解之得：a1，r20．22所以所求圆的方程为(x1)y20．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为42kAB1，故l的斜率为1，又AB的中点为(2,3)，故AB的垂直平分线l的方程为：13y3x2即xy10．又知圆心在直线y0上，故圆心坐标为C(1,0)22∴半径rAC(11)420．22故所求圆的方程为(x1)y20．又点P(2,4)到圆心C(1,0)的距离为22dPC(21)425
3、r．∴点P在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯22例2求半径为4，与圆xy4x2y40相切，且和直线y0相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．222解：则题意，设所求圆的方程为圆C：(xa)(yb)r．圆C与直线y0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(
4、a,4)．22又已知圆xy4x2y40的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3．若两圆相切，则CA437或CA431．222222(1)当C1(a,4)时，(a2)(41)7，或(a2)(41)1(无解)，故可得a2210．222222∴所求圆方程为(x2210)(y4)4，或(x2210)(y4)4．222222(2)当C2(a,4)时，(a2)(41)7，或(a2)(41)1(无解)，故a226．222222∴所求圆的方程为(x226)(y4)4，或(x226)(y4)4．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线y0相切且半径为4，则圆心坐标为
5、C(a,4)，且方程形如22222222(xa)(y4)4．又圆xy4x2y40，即(x2)(y1)3，其圆心为222A(2,1)，半径为3．若两圆相切，则CA43．故(a2)(41)7，解之得a2210．所222222以欲求圆的方程为(x2210)(y4)4，或(x2210)(y4)4．上述误解只考虑了圆心在直线y0上方的情形，而疏漏了圆心在直线y0下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3求经过点A(0,5)，且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定
6、圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线x2y0与2xy0相切，∴圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线x2y0和2xy0的距离相等．2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x2yx2y∴．55∴两直线交角的平分线方程是x3y0或3xy0．又∵圆过点A(0,5)，∴圆心C只能在直线3xy0上．设圆心C(t,3t)∵C到直线2xy0的距离等于AC，2t3t22∴t(3t5)．52化简整理得t6t50．解得：t1或t5∴圆心是(1,3)，半径为5或圆心是
7、(5,15)，半径为55．2222∴所求圆的方程为(x1)(y3)5或(x5)(y15)125．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线l：x2y0的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可
8、利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆
