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《第7讲点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第7讲点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用22xy定理在椭圆221（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点P(x0,y0)ab2y0b是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMN2.x0a证明：设M、N两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，22x1y11,(1)22ab则有22x2y21.(2)22ab2222x1x2y1y2(1)(2)，得0.22ab2y2y1y2y1b.2x2x1x2x1a2y2y1y1y22yyyb又kM
2、N,.kMN2.x2x1x1x22xxxa22xy同理可证，在椭圆221（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点P(x0,y0)ba2y0a是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMN2.x0b典题妙解22y例1设椭圆方程为x1，过点M(0,1)的4直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足uuur1uuuruuur11OP(OAOB)，点N的坐标为,.当l绕点222M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）
3、NP
4、的最大值和最小值.解：（1）设动点P的坐标为(x,y).由平行四边形法则可知：点P是弦AB的中点.1⋯⋯⋯⋯⋯
5、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯22焦点在y上，a4,b1.假设直线l的斜率存在.2yay1y由kAB2得：4.xbxx22整理，得：4xyy0.当直线l的斜率不存在时，弦AB的中点P为坐标原点O(0,0)，也满足方程。22所求的轨迹方程为4xyy0.122(y)x211（2）配方，得：1.x.114416421212
6、NP
7、(x)(y)221212(x)x241273(x)61211121当x时，
8、NP
9、min；当x时，
10、NP
11、max.44662x2例2在直角坐标系xOy中，经过点(0,2)且斜率为k
12、的直线l与椭圆y1有两个不同2的交点P和Q.（1）求k的取值范围；（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量OPOQ与AB共线？如果存在，求k的取值范围；如果不存在，请说明理由.解：（1）直线l的方程为ykx2.ykx2,22由x2得：(2k1)x42kx20.2y1.22x2直线l与椭圆y1有两个不同的交点，22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯222232k8(2k1)＞0.解之得：k＜或k＞.2222k的取值范围是,,.222x2（2）在椭圆y1中，焦
13、点在x轴上，a2,b1，A(2,0),B(0,1),AB(2,1).2设弦PQ的中点为M(x0,y0)，则OM(x0,y10).由平行四边形法则可知：OPOQ2OM.OPOQ与AB共线，OM与AB共线.x0y0y02，从而.21x022y0b212由kPQ得：k，k.2x0a2222由（1）可知k时，直线l与椭圆没有两个公共点，不存在符合题意的常数k.222xy2例3已知椭圆221（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e，右准ab2线方程为x2.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；226(Ⅱ)过点F1的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且
14、F2MF2N
15、，求
16、直线l的方程.3解：（Ⅰ）根据题意，得c2e,2a2x2a2,b1,c1.所求的椭圆方程为y1.2a2x2.c（Ⅱ）椭圆的焦点为F1(1,0)、F2(1,0).设直线l被椭圆所截的弦MN的中点为P(x,y).由平行四边形法则知：F2MF2N2F2P.226262226由
17、F2MF2N
18、得：
19、F2P
20、.(x1)y.⋯⋯⋯⋯⋯①3393⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯若直线l的斜率不存在，则lx轴，这时点P与F1(1,0)重合，
21、F2MF2N
22、
23、2F2F1
24、4，与题设相矛盾，故直线l的斜率存在.2
25、ybyy1212由kMN2得：.y(xx).⋯⋯⋯②xax1x2221226②代入①，得(x1)(xx).292172整理，得：9x45x170.解之得：x，或x.331721y由②可知，x不合题意.x，从而y.k1.333x1所求的直线l方程为yx1，或yx1.22xy3例4已知椭圆C:1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于22ab32A、B两点.当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为.2（1）求a,b的值；（2）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OPOAOB成立？若存在，求出所有点P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由
26、.解：（1）椭圆的右焦点为F(c,0)，直线l的斜率为1时，则其方
