专题：函数的奇偶性讲义(教师用).pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯函数的奇偶性一、函数奇偶性设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有xD，且f(x)＝－f(x)，那么这个函数叫做奇函数．设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有xD，且g(x)＝g(x)，那么这个函数叫做偶函数．奇函数f(x)的图象关于原点成中心对称图形．偶函数g(x)的图象关于y轴成轴对称图形．二、方法归纳1.函数的定义域D是关于原点的对称点集（即对x∈D就有－x∈D），是

2、其具有奇偶性的必要条件．2.在公共定义域内：两个偶函数的和、差、积、商均为偶函数；两个奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数；偶函数与奇函数的积、商是奇函数．3.判断函数的奇偶性应把握：①若为具体函数，严格按照定义判断，注意定义域D的对称性和变换中的等价性．②若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性和合理性．4.定义在关于原点的对称点集D上的任意函数f(x)，总可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和．f(x)f(x)f(x)f(x)即f(x)＝F(x)＋G(x)，其中F(x)＝为偶函数，G

3、(x)＝为奇函数．225.奇（偶）函数性质的推广：若函数f(x)的图象关于直线xa对称，则f(x)f(x2a)；若函数f(x)的图象关于点(a,0)对称，则f(x)f(x2a)；提示三、典型例题精讲21(1xx)2(1xx)21xx1［例1］（1）函数f(x)＝的图象()对任意实数x都成立21xx1A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线x＝1对称112221xx11xx1(1xx)解析：由f(x)，∴f(x)＝＝＝－f(x)2121xx111(1xx)21xx∴f(x)是奇函数，图象关于

4、原点对称．答案：C35⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【技巧提示】用定义判定函数的奇偶性需要对函数解析式进行恒等变形，不要轻易断定是非奇非偶函数．（2）分段函数奇偶性的判定2x2x3,x0又例：函数f(x)的奇偶性．2x2x3,x0提示解析：当x0时，x0分段函数的奇偶性判22f(x)(x)2(x)3＝x2x3＝f(x)；断须注意各段中解析式的作用范围．当x0时，x022f(x)(x)2(x)3＝x2x3＝f(x)∴f(x)是奇函数．［例2］已知

5、f(x)是偶函数而且在(0，＋∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞，0)上的增减性并加以证明．解析：函数f(x)在(－∞，0）上是增函数．设x1＜x2＜0，因为f(x)是偶函数，所以f(x1)＝f(x1)，f(x2)＝f(x2)，由假设可知－x1＞－x2＞0，又已知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，于是有f(x1)＜f(x2)，即f(x1)＜f(x2)，由此可知，函数f(x)在(－∞，0)上是增函数．【技巧提示】具有奇偶性的函数，其定义域D关于原点的对称性，使得函数在互为对称的区间内的单调性具有对应性．“偶函

6、数半增半减，奇函数一增全增”．［例3］定义在区间(－∞，＋∞)上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：（1）f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)；（2）f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)；（3）f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)；（4）f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)．其中成立的是（）A．(1)与(4)B．(2)与(3)C．(1)与(3)D．(2)与(4)解析：根据函数f(x)、g(x)的奇偶性将四

7、个不等式化简，得：（1）f(b)＋f(a)＞g(a)－g(b)；（2）f(b)＋f(a)＜g(a)－g(b)；（3）f(a)＋f(b)＞g(b)－g(a)；（4）f(a)＋f(b)＜g(b)－g(a)．再由题义，有f(a)＝g(a)＞f(b)＝g(b)＞f(0)g(0)0．显然（1）、（3）正确，故选C．【技巧提示】具有奇偶性的函数可以根据某个区间的单调性判定其对称的区间内的单调性，因而往往与不等式联系紧密．36⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯又

8、例：偶函数f(x)在定义域为R，且在（－∞，0]上单调递减，求满足f(x3)＞f(x1)的x的集合．解析：偶函数f(x)在（－∞，0]上单调递减，在［0，＋∞）上单调递增．根据图象的对称性，f(x3)＞f(x1)等价于提示

9、x3

10、＞

11、x1

12、．抽象函数常常集函数解之，x1，性质、图象、定义域与值∴满足条件的x的集合为（－1，＋∞）．域等问题于一身，既能考查函数的概念与性质，又［例4］设f(x)是(－∞