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《1964年全国高考数学试题及其解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1964年全国高考数学试题及其解析2.甲乙二人在河的南岸O处,隔河在正北方向有一建筑物P.甲向正东、乙向正西沿河岸而行,甲每分钟比乙多走a米.10分钟后,甲望建筑物P在北a度西(即北偏西a度),乙望建筑物P在北β度东(即北偏东β度),求O与P之间的距离.3.解方程x4+1=0;并且证明:平面内表示这个方程的根的四个点是一个正方形的顶点.4.已知A、B、C是三角形的三个内角,求证:5.已知方程x3+mx2-3x+n=0的三个根的平方和为6,且知这个方程有两相等的正根,求m、n的值.6.圆台形铁桶的上口半径是1
2、5厘米,下底半径是10厘米,母线长是30厘米,将铁桶的侧面沿一条母线剪开铺平,得图中扇面形状的铁片ABCD.求A、B两点间的距离.7.A、B、C、D四个点在平面M和平面N之外,A、B、C、D在平面M内的射影是A1、B1、C1、D1,在平面N内的射影是A2、B2、C2、D2.已知A1、B1、C1、D1在一条直线上,A2B2C2D2是一个平行四边形,求证ABCD也是一个平行四边形.8.下图中ABCD是正方形,其每边长为1;在正方形内,⊙O与⊙O＇互相外切,并且⊙O与AB、AD两边相切,⊙O＇与CB、CD两边相切
3、.(1)求这两圆半径之和.(2)当两圆半径各多么长时,两圆面积之和最小?当半径各多么长时,面积之和最大?证明你的结论.附加题(1)如果把第8题中的正方形改成矩形,你能得到什么结果?为什么?(2)如果把第8题中的正方形改成棱长为1的正方体,把圆改成球,你能得到什么结果?为什么?1964年试题答案91.解法一:解法二:2.解:如图,设OB=x,则OA=x+10a.再设OP=h,则htgα=x+10a,htgβ=x.h(tgα-tgβ)=10a,93.解法一:原方程即x4=-1,也就是x4=cos(2k+1)π+
4、isin(2k+1)π令k=0、1、2、3,就得到原方程的四个根:如图,∠M1OM2等于x2的辐角减去x1的辐角，故∴M1M2=M2M3=M3M4=M4M1.∴M1M2M3M4是一个正方形.解法二:x4+1=(x4+2x2+1)-2x2∴原方程即9它的根是如图,线段M2M1与M3M4显然都平行于OX轴,线段M4M1与M3M2都平行于OY轴.所以M1M2M3M4是一个正方形.4.解法一:利用正弦定理代入所要证明的等式的右边,并化简得由余弦定理,上式右边就是cosA.解法二:利用A=π-(B+C),sin2B+
5、sin2C-sin2A=sin2B+sin2c-sin2(B+C)=sin2B+sin2C-(sinBcosC+cosBsinC)2=sin2B+sin2C-sin2Bcos2C-cos2Bsin2C-2sinBsinCcosBcosC=sin2B(1-cos2C)+sin2C(1-cos2B)-2sinBsinCcosBcosC=2sin2Bsin2C-2sinBsinCcosBcosC=2sinBsinC(sinBsinC-cosBcosC)=2sinBsinC[-cos(B+C)]=2sinBsinC
6、·cos[π-(B+C)]=2sinBsinCcosA.两边除以2sinBsinC,得到5.解法一:设这个方程的三个根为α、α、β.根据已知条件和根与系数的关系,得9(2)的两边乘以2,得2α2+4αβ=-6,(3)(1)与(3)的两边分别相加,得4α2+4αβ+β2=0,即(2α+β)2=0,∴β=-2α.代入(1),2α2+(-2α)2=6,6α2=6,∴α=±1.α=-1不符合题意,舍去.故α=1,β=-2.∴m=-(2α+β)=0,n=-α2β=2.解法二:仿解法一得代简,得α4-2α2+1=0,即
7、(α2-1)2=0,∴α=±1.α=-1不合题意,舍去.故α=1,代入(2)得,β=-2.∴m=-(2α+β)=0,n=-α2β=2.6.解法一:延长AD、BC相交于O,设∠COD=θ,OD=x,则(x+30)θ=30π,xθ=20π,相减,得30θ=10π,因为△OAB是一个等边三角形,所以AB=OA=90（厘米）.解法二:9延长AD、BC相交于O,设OD=x,则解出x,得x=60,因为△OAB是一个等边三角形,所以AB=OA=90（厘米）.7.解:如图,设A1、B1、C1、D1所在的直线为l,过直线l与
8、直线作AA1作一平面P,则P必垂直于M.显然A在平面P内.又因B1在平面P内,且直线BB1垂直于平面M,故BB1必在平面P内.因而B也在平面P内.同理,C、D也在平面P内.因AA2∥DD2,且A2B2∥D2C2,故由AA2与A2B2所决定的平面平行于由DD2与D2C2所决定的平面.又P与这两个平面的交线分别为AB与CD,故AB∥CD.同理BC∥AD.故ABCD是平行四边形.8.解法一:但OO是两圆连心线,所以OO
