数学建模课件-物理模型.ppt

《数学建模课件-物理模型.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、量纲分析法建模定义：表示一个物理量如何由基本量的组合所形成的式子.量纲作用1）可定出同一物理量不同单位间的换算关系.3）从量纲分析中定出方程中比例系数的量纲和单位.2）量纲可检验公式的正误.量纲某一物理量的量纲物理量大都带有量纲，其中基本量纲通常是质量（用M表示）、长度（用L表示）、时间（用T表示），有时还有温度（用Θ表示）。其他物理量的量纲可以用这些基本量纲来表示，如速度的量纲为LT-1，加速度的量纲为LT-2，力的量纲为MLT-2，功的量纲为ML2T-2等。量纲分析法建模量纲分析的原理是：当度量量纲的基本单位改变时，公式本身并不改变，例如

2、，无论长度取什么单位，矩形的面积总等于长乘宽，即公式S=ab并不改变。此外，在公式中只有量纲相同的量才能进行加减运算，例如面积与长度是不允许作加减运算的，这些限制在一定程度上限定了公式的可取范围，即一切公式都要求其所有的项具有相同的量纲，具有这种性质的公式被称为“量纲齐次”的。例1、在万有引力公式中，引力常数G是有量纲的，根据量纲齐次性，G的量纲为M-1L3T-2，其实，在一量纲齐次的公式中除以其任何一项，即可使其任何一项化为无量纲，因此任一公式均可改写成其相关量的无量纲常数或无量纲变量的函数。例如，与万有引力公式相关的物理量有：G、m1、m

3、2、r和F。现考察这些量的无量纲乘积的量纲为由于是无量纲的量，故应有：此方程组中存在两个自由变量，其解构成一个二维线性空间。取（a,b）=（1,0）和（a,b）=（0,1），得到方程组解空间的一组基（1,0,2,-2,-1）和（0,1,-1,0,0），所有由这些量组成的无量纲乘积均可用这两个解的线性组合表示。两个基向量对应的无量纲乘积分别为：而万有引力定律则可写成f(π1,π2)=0，其对应的显函数为：π1=g(π2)，即万有引力定律量纲齐次原则用数学公式表示一物理定律时，等号两端必须保持量纲的一致所谓量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻求物理量

4、之间的关系下面用一个简单的例子来说明单摆运动：质量为m的小球系在长度为l的线一端，作单摆运动求其周期t的表达式在这个问题中出现的物理量有t,m,l,g，设他们之间有关系1--4按照量纲齐次原则应有：1--5可得出其解为得1--6例2、赛艇成绩的比较(比例模型)八人赛艇比赛和举重比赛一样，分成86公斤的重量级和73公斤的轻量级。1971年，T.A.McMahon比较了1964-1970年期间两次奥运会和两次世锦赛成绩，发现86公斤级比73公斤级的成绩大约好5%，产生这一差异的原因何在呢？我们将以L表示轻量级、以H表示重量级，用S表示赛艇的浸水面

5、积，v表示赛艇速度，W表示选手体重，P表示选手的输出功率，I表示赛程，T表示比赛成绩（时间）。考察优秀赛艇选手在比赛中的实际表现可以发现，整个赛程大致可以分三个阶段，即初始时刻的加速阶段、中途的匀速阶段和到达终点的冲刺阶段。由于赛程较长，可以略去前后两段而只考虑中间一段，为此，提出以下建模假设。（1）设赛艇浸水部分的摩擦力是唯一阻力，摩擦力f正比于Sv2,（见流体力学），空气阻力等其他因素不计。（2）同一量级的选手有相同的体重W，选手的输出功率P正比于W，且效率大体相同。由假设1，，故竞赛成绩记比例系数为k，则有：故由假设2，故令WH=86,

6、WL=73,则有由于SL略小于SH，故轻量级所化时间比重量级所化时间约多5%左右。例3崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有跑表功能的计算器。方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如，设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5米。我学过微积分，我可以做得更好，呵呵。除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当属空气阻力。根据流体力学知识，此

7、时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得：令k=K/m，解得代入初始条件v(0)=0，得c=－g/k，故有再积分一次，得：若设k=0.05并仍设t=4秒，则可求得h≈73.6米。听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了反应时间进一步深入考虑不妨设平均反应时间为0.1秒，假如仍设t=4秒，扣除反应时间后应为3.9秒，代入式①，求得h≈69.9米。①多测几次，取平均值再一步深入考虑代入初始条件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：将e-kt用泰勒公式展开并令k→0+，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。还应考

8、虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落的真正时间为t1，声音传回来的时间记为t2，还得解一个方程组：这一方程组是非线性的，求解不太容易，为了估算崖高竟要去解一个