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时间：2020-04-25
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1、相似三角形中的辅助线添加和相似三角形证明技巧在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1.如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：证明：过点C作CG//FD交AB于G小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。例2.如图，△ABC中，AB2、、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。方法一：过E作EM//AB，交BC于点M，则△EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）。27方法二：如图，过D作DN//EC交BC于N二、作垂线3.如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：。证明：过B作BM⊥AC于M，3、过D作DN⊥AC于N∴∽∴∴（1）又∽∴∴（2）（1）+（2）27又∴AN=CM∴三、作延长线例5.如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF解析：欲证式即由“三点定形”，ΔBFG与ΔCFG会相似吗？显然不可能。（因为ΔBFG为RtΔ），但由E为CD的中点，∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。不妨延长GF与AC的延长线交于H则∴又ED=EC∴FG=FH又易证RtΔCFH∽RtΔGFB∴∴FG·FH=CF·BF∵FG=FH∴F4、G2=CF·BF四、作中线例6如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。解：取BC的中点M，连AM∵AB⊥AC∴AM=CM∴∠1=∠C又BD=DC∴∴27∴∽∴又DC=1MC=BC∴（1）又∽又∵EC=1∴（2）由（1）（2）得，∴小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造与相似是解题关键练习题1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。求证：EF×BC=AC×DF 2、中，，AC=BC，P是A5、B上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：。例1：已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求证：BC2＝2CD·AC．证法一（构造2CD）：如图，在AC截取DE＝DC，∵BD⊥AC于D，∴BD是线段CE的垂直平分线，∴BC=BE，∴∠C=∠BEC，又∵AB＝AC，∴∠C=∠ABC．∴△BCE∽△ACB．∴，∴∴BC2＝2CD·AC．证法二（构造2AC）：如图，在CA的延长线上截取AE＝AC，连结BE，∵AB＝AC，∴AB＝AC=AE．∴∠EBC=906、°，又∵BD⊥AC．∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°，∴∠E=∠DBC，27∴△EBC∽△BDC∴即∴BC2＝2CD·AC．证法三（构造）：如图，取BC的中点E，连结AE，则EC=．又∵AB=AC，∴AE⊥BC，∠ACE=∠C∴∠AEC=∠BDC=90°∴△ACE∽△BCD．∴即．∴BC2＝2CD·AC．证法四（构造）：如图，取BC中点E，连结DE，则CE=．∵BD⊥AC，∴BE=EC=EB，∴∠EDC=∠C又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴△ABC∽△EDC．∴J即．∴BC2＝2CD·AC．例2．7、已知梯形中，，，是腰上的一点，连结（1）如果，，，求的度数；（2）设和四边形的面积分别为和，且，试求的值（1）设，则解法1如图，延长、交于点，，，为的中点又，又为等边三角形故27解法2如图作分别交、于点、则，得平行四边形同解法1可证得为等边三角形故解法3如图作交于，交的延长线于作，分别交、于点、则，得矩形，又，故为、的中点以下同解法1可得是等边三角形故解法4如图，作，交于，作，交于，得平行四边形，且读者可自行证得是等边三角形，故解法5如图延长、交于点，作，分别交、于点、，得平行四边形可证得为的中点，则，故得8、为等边三角形，故解法6如图（补形法），读者可自行证明是等边三角形，得（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）（2）设，则解法1（补形法）如图补成平行四边形，连结，则设，则，由得，，27解法2（补形法）如图，延长、交于点，，，又设，则，，，解法3（补形法）如图连结，作交延长线于点连结则∽，故（1），故（2）由（1）、（2）两式得即解法4（割补法）如图连结与的中点并延长交延长线于点，如图，过、分别作
2、、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。方法一：过E作EM//AB，交BC于点M，则△EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）。27方法二：如图，过D作DN//EC交BC于N二、作垂线3.如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：。证明：过B作BM⊥AC于M，
3、过D作DN⊥AC于N∴∽∴∴（1）又∽∴∴（2）（1）+（2）27又∴AN=CM∴三、作延长线例5.如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF解析：欲证式即由“三点定形”，ΔBFG与ΔCFG会相似吗？显然不可能。（因为ΔBFG为RtΔ），但由E为CD的中点，∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。不妨延长GF与AC的延长线交于H则∴又ED=EC∴FG=FH又易证RtΔCFH∽RtΔGFB∴∴FG·FH=CF·BF∵FG=FH∴F
4、G2=CF·BF四、作中线例6如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。解：取BC的中点M，连AM∵AB⊥AC∴AM=CM∴∠1=∠C又BD=DC∴∴27∴∽∴又DC=1MC=BC∴（1）又∽又∵EC=1∴（2）由（1）（2）得，∴小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造与相似是解题关键练习题1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。求证：EF×BC=AC×DF 2、中，，AC=BC，P是A
5、B上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：。例1：已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求证：BC2＝2CD·AC．证法一（构造2CD）：如图，在AC截取DE＝DC，∵BD⊥AC于D，∴BD是线段CE的垂直平分线，∴BC=BE，∴∠C=∠BEC，又∵AB＝AC，∴∠C=∠ABC．∴△BCE∽△ACB．∴，∴∴BC2＝2CD·AC．证法二（构造2AC）：如图，在CA的延长线上截取AE＝AC，连结BE，∵AB＝AC，∴AB＝AC=AE．∴∠EBC=90
6、°，又∵BD⊥AC．∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°，∴∠E=∠DBC，27∴△EBC∽△BDC∴即∴BC2＝2CD·AC．证法三（构造）：如图，取BC的中点E，连结AE，则EC=．又∵AB=AC，∴AE⊥BC，∠ACE=∠C∴∠AEC=∠BDC=90°∴△ACE∽△BCD．∴即．∴BC2＝2CD·AC．证法四（构造）：如图，取BC中点E，连结DE，则CE=．∵BD⊥AC，∴BE=EC=EB，∴∠EDC=∠C又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴△ABC∽△EDC．∴J即．∴BC2＝2CD·AC．例2．
7、已知梯形中，，，是腰上的一点，连结（1）如果，，，求的度数；（2）设和四边形的面积分别为和，且，试求的值（1）设，则解法1如图，延长、交于点，，，为的中点又，又为等边三角形故27解法2如图作分别交、于点、则，得平行四边形同解法1可证得为等边三角形故解法3如图作交于，交的延长线于作，分别交、于点、则，得矩形，又，故为、的中点以下同解法1可得是等边三角形故解法4如图，作，交于，作，交于，得平行四边形，且读者可自行证得是等边三角形，故解法5如图延长、交于点，作，分别交、于点、，得平行四边形可证得为的中点，则，故得
8、为等边三角形，故解法6如图（补形法），读者可自行证明是等边三角形，得（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）（2）设，则解法1（补形法）如图补成平行四边形，连结，则设，则，由得，，27解法2（补形法）如图，延长、交于点，，，又设，则，，，解法3（补形法）如图连结，作交延长线于点连结则∽，故（1），故（2）由（1）、（2）两式得即解法4（割补法）如图连结与的中点并延长交延长线于点，如图，过、分别作
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