重点初中数学竞赛辅导资料6.doc

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1、初中数学竞赛辅导资料26初中数学竞赛辅导资料26第二十六课竞赛复习课3例1观察等式：21+12=33，43+34=77，35+53=88，18+81=99，65+56=121，78+87=165，…请猜想出一般规律并证明。解：通过观察、思考，发现等式左边是二位数的数字对调求和，右边的数都是11的倍数，从而得规律：如果把一个二位数的个位数字与十位数字对调，那么这个二位数与对调后的二位数之和是11的倍数。证明：设二位数为10x+y，则按规律对调后的二位数是10y+x，因为（10x+y）+（x+10y）=11（x+y），其

2、中x、y是整数，x+y也是整数，所以猜想的规律是正确的。例2设n为正整数，证明2n+4与2n的个位数字相同。证明：∵2n+4-2n=2n（24-1）=2n×15=2n-1×30，∴2n+4与2n的个位数字相同。例3证明993993+991991能被1984整除证明：993993-1=（993-1）（999991+…+993+1）上式右端第二个括号内是993个奇数之和，仍为奇数。∴993993-1=992（2m+1）（m为正整数），同理991991+1=992（2n+1）（n为正整数）∴993993+991991=99

3、2（2m+2n+2）=1984（m+n+1）故993993+991991能被1984整除例4如果n3+100能被10+n整除，求正整数n的最大值。解：∵1+0+0+100-10∴（n3+100）÷（n+10）=（n2-10n+100）……-∴n的最大值是890。例5已知a2+a+1=0，求a1982+a1999+1的值。解：∵a2+a+1=0，∴（a-1）（a2+a+1）=0，∴a3=1，∴a1982=a3×660+2=a2，a1999=a3×666+1=a、，∴a1982+a1999+1=a2+a+1=0例6已知x

4、、y、z两两不相等且满足关系式：x2+y2+mxy=y2+z2+mxz（1）求m的值；（2）证明x2+y2+mxy=（x2+y2+z2）略解：（1）由x2+y2+mxy=y2+z2+myz，得x2-z2+mxy-myz=0，（x-z）（x+z+my）=0。∵x≠z，∴x+z+my=0①同理可得x+y+mz=0②①-②，得（z-y）（1-m）=0∵z≠y，∴1-m=0m=1（2）∵m=1，∴y+x=-z。∴x2+y2+mxy=（2x2+2y2+2xy）=[x2+2y2+（x+y）2]=（x2+y2+z2）练习1、选择题

5、：（1）m个人用s天完成一项工作，则（m+n）个人完成此工作需（）（A）（s+n）天（B）（s-n）天（C）天（D）天（2）2点15分时，分针与时针的夹角为（）（A）5°（B）（7）°（C）（22）°（D）30°（3）a和b（b≠0）互为相反数，n是自然数，下列判断正确的是（）第3页共3页初中数学竞赛辅导资料26（A）a2n和b2n互为相反数（B）a2n+1和b2n+1互为相反数（C）an和互为相反数（D）an和bn互为相反数（4）若a<0，b=-a，则下面的式子中，一定成立的是（）（A）b->0（B）a-b≥0（C

6、）

7、a

8、+b=0（D）=0（5）已知2、7、6和x的平均数等于5；18，1，6，x和y的平均数等于10，那么y等于（）（A）25（B）20（C）15（D）10（6）在1、9、8、7四个数中，完全平方数、奇数，合数、质数的个数依次是（）（A）1、2、2、1（B）2、3、2、2（C）2、3、2、1（D）1、3、2、1（7）1989+8919的个位数字是（）（89年五羊杯初中数学竞赛试题）（A）0（B）2（C）8（D）92、填空题：（1）甲从A地前往B地，去时步行，返回时坐车，共用a小时，若他往返都坐一，则全部行程只需小时

9、，若他往返都步行，则全部行程需要小时；（2）若（x-1）2与

10、y+1

11、是互为相反数，则x+y=；（3）已知x2+x+1=0，则x3+2x2+2x+3的值是；（4）（93年五市联赛试题）乘积1117×1311×1713的积的末位数字是；（5）平方是10位数的整数是位数，并说出这些10位数中最大一个是；（6）今天是星期日，再过993天是星期；（7）若（4x-3y-6z）2+（x+2y-7z）2=0（z≠0），则x:y:z=；（8）（22+1）（24+1）（28+1）…（22n+1）=；（9）试用“×，－，×，÷”四种运算

12、符号与括号联结4个3分别表示1，9，8，7四个数字，则1=，9=，8=，7=；（10）对于正有理数定义一种运算“*”如下：α*b=，那么4*（4*4）=；（11）若m+n=α，m3+n3=b则m2+n2=；（12）正整数n被7除余5，则n3被7除余；（13）多项式2x3+5x2+4除以后，所得的商式为x+1，余式为-6x+1；（14）某商品因滞