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1、北京航空航天大学2010年数学竞赛答案一.填空题（本题共60分）1.设函数在区间内连续，对任意正数，有，且，则_______________2.设则__________________3.已知在内可导，且，，则___________4.已知则5.当满足________时，级数绝对收敛.6._____________7.已知，，且在上有，则________8.计算积分_______________9.设是八面体的表面，则积分=_______________10.设由曲线与直线所围的均匀薄片(面密度为)绕过原点的任意直线的转动，则该转动惯量中的最小值为_______
2、_____________132二.(本题10分)设,试问中哪一个的变动对R影响最大?解,两边取全微分故,,由于,所以因此的变动对R影响最大.三、(本题10分)已知.（1）证明；（2）求.解:.设，,,132所以四、(本题10分)计算曲面积分其中的部分的外侧.解:作辅助曲面下侧；，下侧。原式=，原式=.五、(本题10分)求最小的实数C，使得满足的连续函数都有.解:一方面。另一方面，取,则,而因此最小的实数C=2.北京航空航天大学2009年数学竞赛试题解答132一、填空题（每题5分）1.2.设则3.当是等价无穷小，则4.设则5.设6.求二重积分7.已知8．设曲线起
3、点和终点坐标依次为、，则变力沿该曲线做功为。9．已知，则10．设有向曲面外侧。则积分132二、设函数试讨论函数的奇偶性，并求，偶函数。三、设试判别级数的敛散性.，因为所以级数收敛。四、计算曲面积分.其中是曲面介于两平面之间的那部分表面的外侧。作辅助平面上侧，下侧，五、在曲面：内如何作内接长方体，才能使得长方体的体积最大？求最大体积。在第一卦限的上取一点做为长方体的顶点，则该长方体的体积为设拉格朗日函数，132解得最大体积为六、设函数在上连续，在内可导，满足，且试证明：在内至少存在一点使得证明：设辅助函数则又由知，从而存在使得由罗尔定理知在内至少存在一点使得，即有
4、北京航空航天大学2008年数学竞赛试卷一．填空题（每题4分，共40分）132二(10分)．求三(10分).四(10分).五(10分).已知函数为上的连续函数,且满足方程132,求的表达式.六(10分).七(10分).求,其中C为曲线(R>0),若从z轴正向看去，C为逆时针方向.北京航空航天大学2007年数学竞赛试卷一、填空题（本题共40分）132二、(本题10分)设是的次多项式，。1.证明对任意的正整数，有2.证明对任意的正整数，有三、(本题10分)已知函数计算四、(本题10分)五、(本题10分)计算六、(本题10分)132七、(本题10分)北京航空航天大学20
5、06年数学竞赛试卷一、填空题（本题共40分）132二、(本题10分)三、(本题10分)四、(本题10分)五、(本题10分)六、(本题10分)七、(本题10分)北京航空航天大学2005年数学竞赛试卷一、填空题（本题共40分）132二、(本题10分)三、(本题10分)四、(本题10分)五、(本题10分)六、(本题10分)七、(本题10分)132北京航空航天大学2004年数学竞赛试卷一、填空题（本题共40分）132二、(本题10分)三、(本题10分)四、(本题10分)五、(本题10分)六、(本题10分)132七、(本题10分)第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试
6、题解答一、填空题（每小题3分，共30分）1.=1/6.2．设连续，在处可导，且满足则曲线在处的切线方程为y=2x－2.3.设,则－2.4．设函数可导且，二元函数满足，则.1325.设是由曲线和直线,所围成的区域,是连续函数,则－2.6..7.数项级数的和－1+cos1+ln2.8.计算积分=1/2.9.已知入射光线的路径为,则此光线经过平面反射后的反射线方程为.10.设曲线的长度为L,则.二、(10分)设在上二阶可导，且而当时,证明在内，方程有且仅有一个实根．证明由于当时，因此单调减，从而，于是又有严格单调减．再由知，最多只有一个实根．下面证明必有一实根．当时，
7、，即，上式右端当时，趋于，因此当充分大时，，于是存在，使得，由介值定理存在，使得．综上所述，知在有而且只有一个实根．三、(10分)设有二阶连续偏导数,,且,证明在取得极值,判断此极值是极大值还是极小值,并求出此极值.解,132由全微分的定义知.A=，，,且,故是极大值.四、(10分)设f(x)在[0,1]上连续,f(0)=f(1),求证: 对于任意正整数ｎ，必存在，使．证明 令于是有 所以 故存在 使 ．五、(10分)132六、(10分)设函数除原点外处处具有连续导数,在围绕原点的任意光滑简单闭曲面上,积分的值恒为同一常数.(1)证明:对空间区域内的任意光滑简
8、单闭曲面,有;(2)求函
