等时圆及其应用.doc

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1、“等时圆”模型及其应用(1)物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点时间均相等，且为t＝2(如图甲所示)．(2)物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止下滑，到达圆周低端时间相等为t＝2(如图乙所示)．2．巧用等时圆模型解题对于涉及竖直面上物体运动时间的比较、计算等问题可考虑用等时圆模型求解．例1、如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于A点．竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心．已知在同一时刻a、b两球分别

2、由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM、BM运动到M点；c球由C点自由下落到M点．则(　　)A．a球最先到达M点B．b球最先到达M点C．c球最先到达M点D．b球和c球都可能最先到达M点解【析】　如图所示，令圆环半径为R，则c球由C点自由下落到M点用时满足R＝gt，所以tc＝；对于a球令AM与水平面成θ角，则a球下滑到M用时满足＝2Rsinθ＝gsinθt，即ta＝2；同理b球从B点下滑到M点用时也满足tb＝2(r为过B、M且与水平面相切于M点的竖直圆的半径，r＞R)．综上所述可得tb＞ta＞tc.例2、

3、在一竖直墙面上固定一光滑的杆AB，如图所示，BD为水平地面，ABD三点在同一竖直平面内，且连线AC=BC=0.1m一小球套在杆上自A端滑到B端的时间为：（B）A0.1sB0.2sCDs解析：以C为圆心作一个参考园。由结论知，小球自A到B运动的时间与自A到B自由落体运动的时间相等。即AE=2R=0.2mAE=gtt=0.2s例3如图所示，AB是一个倾角为θ的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道(假设其光滑)，使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大

4、？【解析】　借助“等时圆”理论，可以以过P点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带AB相切，如图所示，C为切点，O为圆心．显然，沿着PC弦建立管道，原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等．因而，要使原料从P处到达输送带上所用时间最短，需沿着PC弦建立管道．由几何关系可得：PC与竖直方向间的夹角等于θ/2.【答案】　θ/2例4、如图所示，圆弧AB是半径为R的圆弧，在AB上放置一光滑木板BD，一质量为m的小物体在BD板的D端由静止下滑，然后冲向水平面BC，在BC上滑行L后停下．不计

5、小物体在B点的能量损失，已知小物体与水平面BC间的动摩擦因数为μ.求：小物体在BD上下滑过程中重力做功的平均功率．【解析】　由动能定理可知小物体从D到C有WG－μmgL＝0，所以WG＝μmgL由等时圆知识可知小物体从D到B的时间等于物体从圆周的最高点下落到B点的时间，即为t＝，所以小物体在木板BD上下滑过程中，重力做功的平均功率为P＝＝.例5、图甲是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线部分AE滑行的时间．技术人员通过测量绘制出如图乙所示的示意图．AC是滑道的竖直高度，D点是AC竖直线上的一点，且有

6、AD＝DE＝10m，滑道AE可视为光滑，滑行者从坡顶A点由静止开始沿滑道AE向下做直线滑动，g取10m/s2，则滑行者在滑道AE上滑行的时间为(　　)A.s　　　　　　　B．2sC.sD．2s【解析】　AE两点在以D为圆心、半径为R＝10m的圆上，在AE上的滑行时间与沿AD所在的直径自由下落的时间相同，t＝＝2s，选B.