基于FI-代数的一个逻辑系统.pdf

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1、第卷第期模糊系统与数学，年月，文章编号：（）基于代数的一个逻辑系统朱怡权（肇庆学院数学系，广东肇庆）摘要：建立一种基于代数的模糊命题演算的形式演绎系统，并讨论了该系统语义的完备性。其目的在于使通常的众多模糊推理系统能够纳入该逻辑系统之中，以便在一个更加广泛的代数和逻辑框架下来研究模糊推理的逻辑基础问题。关键词：代数；模糊逻辑；逻辑系统；完备性中图分类号：；文献标识码：引言智能计算机的出现有力地推动了模糊控制技术的发展，而各种模糊控制又是以其特定的模糊推理与模糊逻辑为基础的。在各种逻辑系统中，“蕴涵”是一个基本的逻辑连接词，通常称为蕴涵算子。为适应不同的模糊推理的需要，人们引入

2、了各种各样的蕴涵算子，诸如文［］、文［］中所列举的：的蕴涵算子、的蕴涵算子、的蕴涵算子（或的蕴涵算子）、［］的蕴涵算子、的蕴涵算子，以及王国俊教授提出的蕴涵算子［］等。为了对蕴涵算子的共同性质作代数上的研究，吴望名教授引入了蕴涵代数（简称代数），并研究了它们的一些基本性质。值得注意的是，利用赋值的方法来研究命题逻辑问题，无论是在经典逻辑中还是在多值模糊逻辑中都是极为重要的。然而，在某种意义上，“赋值法”在逻辑上的等效性主要依赖于赋值域的合理选择和赋值（作为一个映射）本身所具有的良好性质。正因为如此，人们从不同的背景提出了各种相应的“语义代数”，诸如代数；格蕴涵代数；代数；代数

3、；剩余格等（参见文［］文［］）。这些代数都具有良好的性质，它们的提出已引起国内外学术界的广泛关注。综合文［］、文［］、文［］中的讨论可知，以上所有这些语义代数中都包含着一个代数的结构。本文的目的在于建立一个基于代数的模糊命题演绎形式系统，以便能将通常的众多模糊推理系统纳入该逻辑系统之中，有利于在一个更加广泛的代数和逻辑框架下来研究模糊推理的逻辑基础问题。这样，一方面有益于研究现有的这些模糊逻辑系统的共性（例如，相应于以上各种语义代数的演绎形式系统），另一方面也能为模糊推理的应用领域提供更多更好的数学模型。收稿日期：基金项目：广东省自然科学基金资助项目（）；广东省高校自然科学研

4、究资助项目（）作者简介：朱怡权（），男，湖北红安人，肇庆学院数学系教授，研究方向：软代数与多值逻辑。模糊系统与数学年基于代数的演绎形式系统在本节里，我们来建立一个基于代数的模糊命题演绎形式系统［］定义!"一个（，）型代数（，，）称为代数，如果对任何，，，有（）（）（）；（）（）（（）（））；（）；（）；（），其中，。从文［］得知，单位区间［，］对于其上的许多蕴涵算子（诸如、、、）都构成一个代数（［，］，，）。从文［］还得知，代数（，，）具有如下的基本性质：（）；（）；（）（）（（）（））。定义!!#设型自由代数中含有一特定公式!，以（）为推理规则，下列形式的公式为公理的逻辑系

5、统叫做上的模糊蕴涵系统，记作为：（）（）；（）（（））（（））；（）（）（（）（））；（）!这里，（蕴涵算子）是上的一个二元运算，!为常元。在系统中，一些有关的逻辑术语和记号的含义是自明的（参见文［］），如证明，定理，从公式集"的演绎，以及可证等价关系，等等。我们仍然用记号，"，分别表示公式是系统中的定理，"结论，和是可证等价的。显然，在系统中，推理规则是保持定理的，即我们有下列推理规则：（）｛，｝定理!"#在系统中，，，，下列形式的公式都是定理：（）；（）（）（（）（））；（）（）（）；（）其中，!证明（）：由（）和（）得（（!））（）（（（!）））（（!）（））（）由（）

6、和（）及规则得（!）（）（）由（）和（）并应用规则得（）。（）：由（）得（（）（（）（）））（（）（（）（）））（）由（）和（）及规则得，（）（（）（））。交换，，的位置得（）。第期朱怡权：基于代数的一个逻辑系统（）：在（）中取!得，（）（）。（）：由（）得（（!）（!））（（（!）!））（）由（）和（）及规则得，（（!）!），即定理获证。下面是系统中通常的一些推理规则。定理!!"在系统中，，，，下列规则成立：（）（）（）；（）；（）（）（），（）（）；（）｛，｝；（）（）｛，｝证明（）由（）和（）可得；（）由（）和（）可得。（）：由和（）：（）（（）（）），应用规则（）得，

7、（）（）。同理由和（）可得，（）（）。（）：由和（）得，（）（），由此及，应用规则（）得，（）：其证明与（）的证明类似。定理获证。文［］中，在证明系统的可证等价关系是同余关系时，应用了“拟换质位对称性”：（）（）（）然而，在系统中（）一般是不成立的。但是借助（）和（），我们仍能得到可证等价关系是一个同余关系。定理!#"在系统中，可证等价关系是一个型的同余关系，并且所有定理恰好组成一个等价类，记之为［］。证明显然具有对称性，（）和（）分别表明具有自反性和传递性，从而是上的一个等价关系。下面证明对于具有替换