对流扩散方程的一种基于界面罚条件的非重叠区域分解法-论文.pdf

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1、第l6卷第4期铜仁学院学报Vo1．16，No．42014年7月JournaIofTongrenUniversityJu1．2014【数学与应用数学】对流扩散方程的一种基于界面罚条件的非重叠区域分解法曹丹，肖勇(湖南农业大学东方科技学院，湖南长沙410001)摘要：应用基于界面罚条件的非重叠区域分解法求解稳态对流占优的对流扩散方程，分析了该方法的相容性，并对其有限元解进行了误差估计，证明当将罚参数占选取得足够小时，用k阶有限元空间来逼近弱解空间，能得到最优阶的误差估计。关键词：非重叠区域分解法；对流扩散方程；罚条件；有

2、限元；误差估计中图分类号：O241文献标识码：A文章编号：1673—9639(2014)04—0152—051．引言维空间的投影。本文先给出方程(1)对应的弱形式【】：区域分解法是一类数值求解偏微分方程的有效求Vu∈(Q)，使得方法，它基于分而治之的思想，将求解区域分解成V·Vv+V·()V+Ifau~=，Vvi-z~(n)。若干个形状相对规则的子域，然后在各子域中分别求解问题【I】。本文以稳态对流扩散方程为基本模型，通过Green公式将上式转化成另一等价形式：讨论一种基于界面罚条件的非重叠区域分解法。问题描述如下【

3、2J：InVu．Vv+(·+口)“V+fn(Vb．Vu-u·v)=⋯Q，(1)，Vvei-i~(n)。on．记，v)=t~Vu，=ulnvu·Vv，，：LV-+a)uv，其中。为扩散系数。本文仅讨论区域Q为二维的情形，并将边界取为齐次边界条件，对于非齐次边界c()=『n(V．Vu-ub·VV)，(／，V)=。条件，我们可以得到类似的结论。为保证方程的解存在且唯一，假设其中的系数满足以下条件：则模型问题的变分形式可记为：(P)求∈(Q)，使得b=(6l，'y)，b2(x，))∈((Q))，V·b∈)，1一a(u，1，)

4、+b(u，V)+c(u，V)=(厂，V)，Vv∈(Q)。a(x，)∈(Q)，f(x，J，)∈L2(Q)，0-"-V·b+口≤M。由于去·b+口≥0，所以双线性形式2．基于罚条件的非重叠区域分解法的有限元a(u，+b(u，1，)+c(u，在V=(Q)内是连续且正定格式构造的，由Lax—Milgram引理可知该变分问题具有唯一解。2．1．预备知识接下来对区域Q作如下分割并引入以下符号：有限元解实际上是微分方程弱形式的解在有限将Q分解成两个非重叠的非空区域Q和Q，，且收稿日期：2014．05．10基金项目：本文系湖南农业大

5、学青年科学基金项目(I[QN01)资助成果作者简介：曹丹(1982一)，女，湖南衡阳人，硕士，研究方向：偏微分方程数值解。第4期曹丹，肖勇：对流扩散方程的一种基于界面罚条件的非重叠区域分解法153=QIUQ2；对于i=1，2，Ff：aQfnaQ，该方法通过将边界条件：，罚入求解的方程中，使方程限制条件减少，复杂程度降低。从方程可以看F：aQNaQ，，n是区域Ql在边界I1上的单位外出，边界条件一u笪+一10一(b：u()：一堕-t．法向量，并记n=n。。22定义空间：始终成立，而当J，0时，即保证了边界条件=“，，又

6、实现相邻子区域解的连续性与完整性。文中记：(Qi；r1)={veH(f2)~vlr=0}；=)；：nI，当r对称，即在公共边界r上+：0人={r／∈H(r)f77：qr，V∈(}；X=×r2。2时，可得到V>0，：U。也即在此情况下，当用非重叠区域分解法来求解问题(1)时，原问题两子域之间没有物质交换，可以看成两个独立的区的解在两子域Q和Q，的公共边界r上是满足传输域，因此可以在两子域上独立求解方程。条件的，即在r上下式成立：OuOu，uIu2’U_=o_=，3．罚条件方法的相容性误差分析将方程(1)的真解U代入()

7、，对于Vvi∈，其中：uln，即方程弱解在子域Q上的限制。定义相容性误差【】为：2．2．基于罚条件的非重叠区域分解法有限元格式构造c(，v2)=∑((“，)(，vi)+ci(u，)-(f，))(2)i=l罚条件方法(penaltymethod)起源于条件极值记Fr)：uiOU10(bu)—理论，相比Lagrange乘法子而言，罚条件方法能使，其中，z是r上由区域引入的变量个数达到最少，从而使有限元方法实现Q。指向区域Q：的单位外法向量，并记起来简单很多【4_6】。本文针对稳态对流扩散方程，将界面条件=“加罚到求解的予

8、问题中，使得问题的Cv：I)【lo_。由Green公式，可知约束条件减少，复杂度降低，同时得到较好的结果。—为简便起见，下文中我们将基于界面罚条件的非重f=l=lmt)?li．n．叠区域分解法简称为罚条件方法。=我们对问题(P)的罚条件方法描述如下：嘻!詈c训一。2c()对于V>0，求，“；)∈(墨，X2)，使得V(，v2)∈(五，)，壹(，)